Giải phương trình \[\sqrt 3 \sin x + \cos x + \frac{5}{{\sqrt 3 \sin x + \cos x + 3}} = 3\]

Kiến thức cần nắm:

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả, bài này thuộc dạng vừa phải.

Ta nhận thấy, phương trình bậc nhất sin và cos một cung: \[\sqrt 3 \sin x + \cos x + 3 = 0\]

vô nghiệm. ( Cách giải phương trình bậc nhất sin và cos một cung ). Do đó với bài toán này ta không cần đặt điều kiện có nghiệm.

Đây là bài toán nằm trong lớp bài toán có phương pháp giải là đặt ẩn số phụ.

Đặt:
\[t = \sqrt 3 \sin x + \cos x + 3 \Rightarrow \sqrt 3 \sin x + \cos x = t - 3\]

Do đó phương trình ban đầu tương đương với phương trình:

\[t - 3 + \frac{5}{t} = 3 \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 t = 1 \\
 t = 5 \\
 \end{array} \right.\]

Với t = 1, ta được:

\[\sqrt 3 \sin x + \cos x + 3 = 1 \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x + \cos x =  - 2\]

Đây là phương trình cơ bản, phương pháp giải phương trình này tại Cách giải phương trình bậc nhất sin và cos một cung

\[\begin{array}{l}
 \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x =  - 1 \Leftrightarrow \sin x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{6} + \cos x.\sin \frac{\pi }{6} =  - 1 \\
  \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
  \Leftrightarrow x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;k \in Z \\
 \end{array}\]

Với t = 5, ta được:
\[\begin{array}{l}
 \sqrt 3 \sin x + \cos x + 3 = 5 \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin x + \cos x = 2 \\
  \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = 1 \Leftrightarrow \sin x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{6} + \cos x.\sin \frac{\pi }{6} = 1 \\
  \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + m2\pi ;m \in Z \\
  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm:
\[\left[ \begin{array}{l}
 x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{3} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]