Phương trình bậc nhất sin và cos một cung là phương trình có dạng a.sinx + b cosx = c.
Cách giải:
Cách 1:
Chúng ta chia hai vế của phương trình cho \[\sqrt {{a^2} + {b^2}} \], ta được phương trình (1):
\[\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Ta dễ dàng nhận thấy:
\[{\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 1\]
\[{\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = 1\]
Do đó: nếu ta đặt \[\sin \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
thì \[c{\rm{os}}\alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Với cách đặt như trên chúng ta dễ thấy phương trình (1) đưa được về dạng phương trình (2) như sau:
\[\cos x.c{\rm{os}}\alpha + \sin x.\sin \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Các bạn có còn nhớ công thức cộng của hàm cos trong lượng giác:
\[c{\rm{os}}\left( {x - \alpha } \right) = \cos x.c{\rm{os}}\alpha + \sin x.\sin \alpha \]
Với cách đặt như trên chúng ta dễ thấy phương trình (1) đưa được về dạng phương trình (2) như sau:
\[\cos x.c{\rm{os}}\alpha + \sin x.\sin \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Các bạn có còn nhớ công thức cộng của hàm cos trong lượng giác:
\[c{\rm{os}}\left( {x - \alpha } \right) = \cos x.c{\rm{os}}\alpha + \sin x.\sin \alpha \]
Vì thế phương trình (2) được viết dưới dạng như phương trình (3) như sau:
\[c{\rm{os}}\left( {x - \alpha } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Nhìn vào phương trình (3) và các bạn nhớ lại miền giá trị của hàm số cos là trong đoạn [-1; 1]. Do đó chúng ta dễ thấy rằng để phương trình (3) có nghiệm thì chúng ta cần phải có:
\[ - 1 \le \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \le 1\]
\[c{\rm{os}}\left( {x - \alpha } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Nhìn vào phương trình (3) và các bạn nhớ lại miền giá trị của hàm số cos là trong đoạn [-1; 1]. Do đó chúng ta dễ thấy rằng để phương trình (3) có nghiệm thì chúng ta cần phải có:
\[ - 1 \le \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \le 1\]
hay:
\[\left| {\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right| \le 1\]
Bình phương hai vế ta được:
\[{c^2} \le {a^2} + {b^2}\]
Nếu các bạn không hiểu rõ chỗ này, điều đó có nghĩa phần tính chất bất đẳng thức, cũng như tính chất của trị tuyệt đối của các bạn bị hỗng, các bạn cần coi lại tính chất bất đẳng thức và tính chất của trị tuyệt đối.
Như vậy các bạn dễ dàng rút ra được kết luận điều kiện để phương trình bậc nhất sin và cos một cung a.sinx + b.cosx = c có nghiệm khi và chỉ khi:
\[{c^2} \le {a^2} + {b^2}\]
Như vậy các bạn dễ dàng rút ra được kết luận điều kiện để phương trình bậc nhất sin và cos một cung a.sinx + b.cosx = c có nghiệm khi và chỉ khi:
\[{c^2} \le {a^2} + {b^2}\]
Khi phương trình (3) có nghiệm, ta sẽ có một trong các khả năng sau:
- Có thể đưa được \[\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
- Không thể đưa \[\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\] được về góc đặc biệt nào cả, do đó ta cần đặt: \[\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = c{\rm{os}}\beta \]
Đến đây, nếu các bạn chưa biết phương trình lượng giác cơ bản thì các bạn nên xem lại. Ở đây chúng tôi có thể nhắc lại, phương trình lượng giác cơ bản của hàm số cos như sau: \[\cos x = c{\rm{os}}\alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi ;k \in Z \\
x = - \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]
x = \alpha + k2\pi ;k \in Z \\
x = - \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]
Cuối cùng, chúng ta có công thức nghiệm của phương trình lượng giác bậc nhất sin và cos một cung a.sinx + b.cosx = c như sau:
\[\left[ \begin{array}{l}
x - \alpha = \beta + k2\pi ;k \in Z \\
x - \alpha = - \beta + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]
\[\left[ \begin{array}{l}
x - \alpha = \beta + k2\pi ;k \in Z \\
x - \alpha = - \beta + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]
chuyển \[\alpha \] từ vế trái sang vế phải, ta được:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + \beta + k2\pi ;k \in Z \\
x = \alpha - \beta + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]
x = \alpha + \beta + k2\pi ;k \in Z \\
x = \alpha - \beta + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]
Như vậy, chúng ta đã giải được phương trình lượng giác bậc nhất sin và cos một cung với cách đặt như trên. Chúng ta có thể đặt theo cách khác, Quay lại phương trình (1):
\[\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Bây giờ nếu ta đặt \[c{\rm{os}}\alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
\[\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Bây giờ nếu ta đặt \[c{\rm{os}}\alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
thì ta cũng được \[\sin \alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Như thế thì phương trình (1) lúc này được biến đổi về dạng như sau:
\[\sin x.c{\rm{os}}\alpha + \cos x.\sin \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Áp dụng công thức cộng với hàm sin: \[\sin \left( {x + \alpha } \right) = \sin x.c{\rm{os}}\alpha + \cos x.\sin \alpha \]
Áp dụng công thức cộng của hàm sin, chúng ta được phương trình (5):
\[\sin \left( {x + \alpha } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
\[\sin \left( {x + \alpha } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]
Tương tự như trên, miền giá trị của hàm sin là [-1; 1], chúng ta cũng dễ dàng suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình (5) là \[{c^2} \le {a^2} + {b^2}\]
Chúng ta quay lại cách giải phương trình lượng giác cơ bản của hàm sin:
\[\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi ;k \in Z \\
x = \pi - \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]
x = \alpha + k2\pi ;k \in Z \\
x = \pi - \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]