Giải phương trình \[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + \sqrt {2 + \cos x} = 2\]

Kiến thức cần nắm:

• Dạng phương trình:

\[\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 B \ge 0 \\
 A = {B^2} \\
 \end{array} \right.\]

• Miền giá trị của hàm số y = cosx: 

\[ - 1 \le \cos x \le 1\]

• Các tính chất bất đẳng thức.

Mức độ khó: Theo đáng giá chủ quan của tác giả đây là bài toán vừa phải, không khó.

Ta có:

\[ - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 0 \le c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le 1 \Rightarrow 1 \le 2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le 2\]

Phương trình đã cho được biến đổi tương đương:
\[\sqrt {2 + \cos x}  = 2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\]
Do đó:
\[\begin{array}{l}
  \Leftrightarrow 2 + \cos x = {\left( {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^2} \Leftrightarrow 4 - 4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x - \cos x - 2 = 0 \\
  \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x - 4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - \cos x + 2 = 0 \\
 \end{array}\]

Phương trình này có nghiệm cosx = -1, cosx = 2, sử dụng sơ đồ Horner 2 lần ta đưa phương trình về dạng:

\[\left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos x - 2} \right)\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + \cos x - 1} \right) = 0\]

Do đó ta được:

\[\begin{array}{l}
 \left( {\cos x + 1} \right)\left( {\cos x - 2} \right)\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + \cos x - 1} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \cos x =  - 1 \\
 \cos x = 2(l) \\
 \cos x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}(l) \\
 \cos x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \pi  + k2\pi ;k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x = \arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + m2\pi ;m \in Z \\
 x =  - \arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Vậy phương trình có ba nghiệm:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \pi  + k2\pi ;k \in Z \\
 x = \arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + m2\pi ;m \in Z \\
 x =  - \arccos \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right.\]