Kiến thức cần biết:
- Giải phương trình dạng:
\[\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B \ge 0 \\
A = {B^2} \\
\end{array} \right.\]
B \ge 0 \\
A = {B^2} \\
\end{array} \right.\]
- Miền giá trị của hàm cos:
- Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
- Biến đổi miền giá trị của một biểu thức chứa sin hoặc cos.
Ta nhận thấy:
\[ - 1 \le \cos x \le 1 \Rightarrow 0 \le c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le 1 \Rightarrow 1 \le 2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \le 2\]
Do đó bài này không cần đặt điều kiện.
Đây là lớp bài toán được giải theo phương pháp đặt ẩn số phụ.
Đặt:
\[t = \cos x + \sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \]
Bình phương 2 vế:
\[\begin{array}{l}
{t^2} = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 2\cos x.\sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} + 2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
\Rightarrow {t^2} = 2 + 2\cos x.\sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \\
\Rightarrow \cos x.\sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} = \frac{{{t^2} - 2}}{2} \\
\end{array}\]
{t^2} = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 2\cos x.\sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} + 2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
\Rightarrow {t^2} = 2 + 2\cos x.\sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \\
\Rightarrow \cos x.\sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} = \frac{{{t^2} - 2}}{2} \\
\end{array}\]
Phương trình ban đầu được biến đổi về dạng:
\[t + \frac{{{t^2} - 2}}{2} = 3 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 4 \\
t = 2 \\
\end{array} \right.\]
\[t + \frac{{{t^2} - 2}}{2} = 3 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 4 \\
t = 2 \\
\end{array} \right.\]
Với t = -4:
ta được:
\[\cos x + \sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} = - 4 \Leftrightarrow \sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} = - 4 - \cos x\]
Dễ thấy phương trình này vô nghiêm do:
\[ - 5 \le - 4 - \cos x \le - 3\]
Với t = 2:
ta được:
\[\cos x + \sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} = 2 - \cos x\]
ta có:
\[1 \le 2 - \cos x \le 3\]
ta được:
\[\cos x + \sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} = 2 - \cos x\]
ta có:
\[1 \le 2 - \cos x \le 3\]
do đó phương trình tương đương với phương trình:
\[\begin{array}{l}
2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = {\left( {2 - \cos x} \right)^2} \\
\Leftrightarrow 2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 4 - 4\cos x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
\Leftrightarrow 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 4\cos x + 2 = 0 \\
\Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2\cos x + 1 = 0 \\
\Leftrightarrow {\left( {\cos x - 1} \right)^2} = 0 \\
\Leftrightarrow \cos x = 1 \\
\Leftrightarrow x = k2\pi ;k \in Z \\
\end{array}\]
2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = {\left( {2 - \cos x} \right)^2} \\
\Leftrightarrow 2 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 4 - 4\cos x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
\Leftrightarrow 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 4\cos x + 2 = 0 \\
\Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2\cos x + 1 = 0 \\
\Leftrightarrow {\left( {\cos x - 1} \right)^2} = 0 \\
\Leftrightarrow \cos x = 1 \\
\Leftrightarrow x = k2\pi ;k \in Z \\
\end{array}\]
Vậy phương trình có một nghiệm: \[x = k2\pi ;k \in Z\]
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét
Cám ơn bạn đã góp ý cho Gia sư Khánh Hòa. Chúc bạn sức khỏe và thành công.