Phương pháp giải phương trình đối xứng loại 1

1. Phương trình đối xứng loại 1.
Phương trình đối xứng loại 1 là phương trình có dạng a(sinx + cosx) + b.sinx.cosx + c = 0.



Chắc các bạn không thể nào quên công thức công của hàm sin và hàm cos chứ nhỉ? Nhưng nhiều khi quên thì sao, bộ não chúng ta không thể nào nhớ hết những gì chúng ta đã từng biết.

\[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\]
\[\sin \left( {a - b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b\]

\[c{\rm{os}}(a + b) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\]

\[c{\rm{os}}(a - b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\]

Đầu tiên để giải được phương trình này ta nên ôn lại một số công thức biến đổi cơ bản sau:

\[\begin{array}{l}
 \sin x + \cos x = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}c{\rm{os}}x \\
  = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}c{\rm{os}}x} \right) \\
  = \sqrt 2 \left( {\sin x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + c{\rm{os}}x.\sin \frac{\pi }{4}} \right) \\
  = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \\
 \end{array}\]
hoặc:
\[\begin{array}{l}
 \sin x + \cos x = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}c{\rm{os}}x \\
  = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}c{\rm{os}}x} \right) \\
  = \sqrt 2 \left( {c{\rm{os}}x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + \sin x.\sin \frac{\pi }{4}} \right) \\
  = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \\
 \end{array}\]

Ta đặt:
\[t = \sin x + \cos x\]

Áp dụng công thức biến đổi trên ta được:

\[t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\]

Ta đã biết:

\[ - 1 \le c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1;\forall x \in R\]

Do đó, suy ra điều kiện của t:

\[ - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 \]

Và bình phương hai vế của:

\[t = \sin x + \cos x\]

ta được:

\[\begin{array}{l}
 {t^2} = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 1 + 2\sin x.\cos x \\
  \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2} \\
 \end{array}\]

Như vậy phương trình ban đầu được đưa về dạng phương trình bậc hai ẩn t:
\[\begin{array}{l}
 a.t + b.\frac{{{t^2} - 1}}{2} + c = 0 \\
 b{t^2} + 2at + 2c - b = 0 \\
 \end{array}\]

Giải phương trình này tìm t, (chú ý điều kiện của t), sau đó ta tiếp tục giải phương trình cơ bản:
\[\sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = t\]

hoặc:

\[\sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = t\]

2. Phương trình tựa đối xứng:
Là phương trình có dạng: a(sinx - cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
Tương tự như trên các bạn ôn lại các biến đổi cơ bản sau:
\[\begin{array}{l}
 \sin x - \cos x = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x - \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}c{\rm{os}}x \\
  = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}c{\rm{os}}x} \right) \\
  =  - \sqrt 2 \left( {c{\rm{os}}x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} - \sin x.\sin \frac{\pi }{4}} \right) \\
  =  - \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \\
 \end{array}\]

hoặc:

\[\begin{array}{l}
 \sin x - \cos x = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x - \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}c{\rm{os}}x \\
  = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}c{\rm{os}}x} \right) \\
  =  - \sqrt 2 \left( {\sin x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} - c{\rm{os}}x.\sin \frac{\pi }{4}} \right) \\
  =  - \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \\
 \end{array}\]

Ta đặt:
\[t = \sin x - \cos x\]
Ta cũng đã biết:
\[ - 1 \le {\rm{sin}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\]
Áp dụng công thức biến đổi trên ta suy ra được điều kiện của t:
\[\begin{array}{l}
 t = \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = t \\
  \Rightarrow  - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2  \\
 \end{array}\]

Bình phương hai vế của

\[\begin{array}{l}
 {t^2} = {\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = {\sin ^2} - 2\sin x.\cos x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 1 - 2\sin x.\cos x \\
  \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2} \\
 \end{array}\]

Như vậy phương trình ban đầu được biến đổi về phương trình bậc hai ẩn số t:

\[\begin{array}{l}
 a.t + b.\frac{{1 - {t^2}}}{2} + c = 0 \\
 2at + b - b{t^2} + 2c = 0 \\
 b{t^2} - 2at - 2c - b = 0 \\
 \end{array}\]

Giải phương trình này ta tìm được t, sau đó ta đi giải tiếp phương trình cơ bản sau:

\[\sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = t\]