Giải phương trình \[\sin 2x\left( {\tan 2x + \cot x} \right) = 4{\cos ^2}x\]

Điều kiện để phương trình có nghiệm:
\[\left\{ \begin{array}{l}
 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 x \ne m\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2};k \in Z \\
 x \ne m\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Áp dụng kỹ thuật biến đổi ở đây của công thức tanx + coty. Nếu quên các bạn xem lại

ở đây

Ta có:

\[\tan 2x + \cot x = \frac{{\cos x}}{{c{\rm{os}}2x\sin x}}\]

Do đó vế trái của phương trình được biến đổi thành:

\[\begin{array}{l}
  \Rightarrow \sin 2x\left( {\tan 2x + \cot x} \right) = 2\sin x\cos x.\frac{{\cos x}}{{c{\rm{os}}2x\sin x}} \\
  = \frac{{2{{\cos }^2}x}}{{c{\rm{os}}2x}} \\
 \end{array}\]

Phương trình ban đầu tương đương với:

\[\frac{{2{{\cos }^2}x}}{{c{\rm{os}}2x}} = 4{\cos ^2}x \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {\frac{1}{{c{\rm{os}}2x}} - 2} \right) = 0\]

Do \[\cos x \ne 0\]

Nên:

\[\begin{array}{l}
 \frac{1}{{c{\rm{os}}2x}} - 2 = 0 \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ;k \in Z \\
 2x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi ;k \in Z \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{6} + k\pi ;k \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi ;k \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Cách khác:

Chúng ta sử dụng công thức liên hệ giữa sinx, cosx, tanx, cotx và tanx/2. Nếu quên các bạn có thể nghiên cứu lại

tại đây

Phương trình ban đầu được biến đổi thành:

\[\begin{array}{l}
 \sin 2x\left( {\tan 2x + \frac{1}{{\tan x}}} \right) = 4\frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} \\
  \Leftrightarrow \sin 2x\left( {\tan 2x + \frac{1}{{\tan x}}} \right) = 2 + 2\cos 2x \\
 \end{array}\]

Đặt:

\[t = \tan x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 \tan 2x = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}} \\
 \sin 2x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} \\
 c{\rm{os}}2x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} \\
 \end{array} \right.\]

Thay vào phương trình, ta được:

\[\begin{array}{l}
 \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\left( {\frac{{2t}}{{1 - {t^2}}} + \frac{1}{t}} \right) = 2 + 2\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} \Leftrightarrow \frac{{4{t^2}}}{{1 - {t^4}}} + \frac{2}{{1 + {t^2}}} = 2 + \frac{2}{{1 + {t^2}}} - \frac{{2{t^2}}}{{1 + {t^2}}} \\
  \Leftrightarrow \frac{{4{t^2} + 2{t^2}\left( {1 - {t^2}} \right) - 2\left( {1 - {t^4}} \right)}}{{1 - {t^4}}} = 0 \Leftrightarrow 6{t^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{1}{3} \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 t = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \\
 t =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }} \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{6} + k\pi ;k \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi ;k \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{6} + k\pi ;k \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi ;k \in Z \\
 \end{array} \right.\]