Giải phương trình \[\begin{array}{l} {\sin ^2}x + 3{\cos ^2}x - \left( {1 + 2\sin x} \right)\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right) \\ + 2\sin x\left( {2 - \sqrt 3 \cos x} \right) - 2 = 0 \\ \end{array}\]

Kiến thức cần nắm:

• Nắm được phương pháp giải phương trình bậc nhất sin và cos một cung.
• Sơ đồ Horner.
• Phương trình lượng giác cơ bản:

\[\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \alpha  + k2\pi ;k \in Z \\
 x = \pi  - \alpha  + k2\pi ;k \in Z \\
 \end{array} \right.\]

• Phương trình lượng giác đặc biệt:

\[\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z\]

Kỹ năng:

• Gộp nghiệm.

Xem bài giảng bằng video:

Ta biến đổi phương trình đã cho như sau: \[\begin{array}{l}  {\sin ^2}x - 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x - \left( {1 + 2\sin x} \right)\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right) \\   - 2\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0 \\   \Leftrightarrow {\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right)^2} - \left( {1 + 2\sin x} \right)\left( {\sin x - \sqrt 3 \cos x} \right) -  \\   - 2\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0 \\  \end{array}\]

Đặt: \[t = \sin x - \sqrt 3 \cos x\]

Điều kiện của t:

\[{t^2} \le 4\]

Phương trình được đưa về dạng:

\[{t^2} - \left( {1 + 2\sin x} \right)t - 2\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\]

Phương trình này có nghiệm là t = 2, sử dụng sơ đồ horner:

\[\left( {t - 2} \right)\left[ {t + 1 - 2\sin x} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  t = 2 \\  t + 1 - 2\sin x = 0 \\  \end{array} \right.\]

Với t = 2:

\[\begin{array}{l}  \sin x - \sqrt 3 \cos x = 2 \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \\  x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;k \in Z \\  \end{array}\]

Với:

\[t = 2\sin x - 1\]

ta có:

\[\begin{array}{l}  \sin x - \sqrt 3 \cos x = 2\sin x - 1 \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 \\  \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + m2\pi ;m \in Z \\  x + \frac{\pi }{3} = \pi  - \frac{\pi }{6} + n2\pi ;n \in Z \\  \end{array} \right. \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  x =  - \frac{\pi }{6} + m2\pi ;m \in Z \\  x = \frac{\pi }{2} + n2\pi ;n \in Z \\  \end{array} \right. \\  \end{array}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm: \[\left[ \begin{array}{l}  x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi ;k \in Z \\  x = \frac{\pi }{2} + m2\pi ;m \in Z \\  \end{array} \right.\]