Để đơn giản, chúng ta thường đặt:
\[t = \tan \frac{x}{2}\]
Đầu tiên chúng ta áp dụng công thức nhân đôi của hàm tan:
\[\tan x = \tan \left( {2.\frac{x}{2}} \right) = \frac{{2\tan \frac{x}{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\]
Chúng ta đã có công thức:
\[\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x \Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}}\]
Áp dụng công thức nhân đôi cho hàm sinx:
\[\sin x = 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2} = \frac{{\frac{{2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2}}}}}{{\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2}}}}} = \frac{{2\tan \frac{x}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\]
\[\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x \Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}}\]
Áp dụng cho góc x/2, ta được:
\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2} = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{1}{{1 + {t^2}}}\]
Lại áp dụng công thức nhân đôi cho góc x/2:
\[\cos x = c{\rm{os}}2.\frac{x}{2} = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 1 = \frac{2}{{1 + {t^2}}} - 1 = \frac{{2 - 1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\]
Áp dụng công thức nhân đôi cho hàm sinx:
\[\sin x = 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2} = \frac{{\frac{{2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2}}}}}{{\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2}}}}} = \frac{{2\tan \frac{x}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\]
2 nhận xét:
E rất rất rất cảm ơn a, có thể bài này sẽ k đc phần lớn người xem quan tâm, nhưng e đã mất rất nhiều thời gian để CM 1 bài tập và k ngờ nó lại giản đơn như này :))))
Cảm ơn vì bài viết đã giải đáp thắc mắc của em 😊
Đăng nhận xét
Cám ơn bạn đã góp ý cho Gia sư Khánh Hòa. Chúc bạn sức khỏe và thành công.