Áp dụng công thức nhân đôi của hàm cos, ta biến đổi phương trình ban đầu về như sau:
\[2.\frac{{1 + c{\rm{os}}\frac{{12x}}{5}}}{2} = 3\cos \frac{{8x}}{5} - 1 \Leftrightarrow 1 + c{\rm{os}}\frac{{12}}{5}x = 3\cos \frac{{8x}}{5} - 1\]
Đặt:
\[t = \frac{{4x}}{5}\]
\[t = \frac{{4x}}{5}\]
Do dó:
\[1 + c{\rm{os}}4t = 3\cos 2t - 1\]
Áp dụng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos:
\[\begin{array}{l}
1 + 4{\cos ^3}t - 3\cos t = 3\left( {2{{\cos }^2}t - 1} \right) - 1 \\
\Leftrightarrow 4{\cos ^3}t - 6{\cos ^2}t - 3\cos t + 5 = 0 \\
\end{array}\]
Áp dụng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của hàm cos:
\[\begin{array}{l}
1 + 4{\cos ^3}t - 3\cos t = 3\left( {2{{\cos }^2}t - 1} \right) - 1 \\
\Leftrightarrow 4{\cos ^3}t - 6{\cos ^2}t - 3\cos t + 5 = 0 \\
\end{array}\]
Dễ thấy phương trình có một nghiệm là cost = 1, sử dụng phương pháp Horner, ta phân tích thành phương trình tích như sau:
\[\begin{array}{l}
\left( {\cos t - 1} \right)\left( {{{\cos }^2}t - 2\cos t - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos t - 1 = 0 \\
{\cos ^2}t - 2\cos t - 5 = 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos t = 1 \\
\cos t = 2 - \sqrt 6 \\
\cos t = 2 + \sqrt 6 (l) \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = k2\pi ;k \in Z \\
t = \arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + m2\pi ;m \in Z \\
t = - \arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{4x}}{5} = k2\pi ;k \in Z \\
\frac{{4x}}{5} = \arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + m2\pi ;m \in Z \\
\frac{{4x}}{5} = - \arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\frac{{5\pi }}{2};k \in Z \\
x = \frac{5}{4}\arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + m\frac{{5\pi }}{2};m \in Z \\
x = - \frac{5}{4}\arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + n\frac{{5\pi }}{2};n \in Z \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
\left( {\cos t - 1} \right)\left( {{{\cos }^2}t - 2\cos t - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos t - 1 = 0 \\
{\cos ^2}t - 2\cos t - 5 = 0 \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos t = 1 \\
\cos t = 2 - \sqrt 6 \\
\cos t = 2 + \sqrt 6 (l) \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = k2\pi ;k \in Z \\
t = \arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + m2\pi ;m \in Z \\
t = - \arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{4x}}{5} = k2\pi ;k \in Z \\
\frac{{4x}}{5} = \arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + m2\pi ;m \in Z \\
\frac{{4x}}{5} = - \arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\frac{{5\pi }}{2};k \in Z \\
x = \frac{5}{4}\arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + m\frac{{5\pi }}{2};m \in Z \\
x = - \frac{5}{4}\arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + n\frac{{5\pi }}{2};n \in Z \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = k\frac{{5\pi }}{2};k \in Z \\
x = \frac{5}{4}\arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + m\frac{{5\pi }}{2};m \in Z \\
x = - \frac{5}{4}\arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + n\frac{{5\pi }}{2};n \in Z \\
\end{array} \right.\]
\[\left[ \begin{array}{l}
x = k\frac{{5\pi }}{2};k \in Z \\
x = \frac{5}{4}\arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + m\frac{{5\pi }}{2};m \in Z \\
x = - \frac{5}{4}\arccos \left( {2 - \sqrt 6 } \right) + n\frac{{5\pi }}{2};n \in Z \\
\end{array} \right.\]
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét
Cám ơn bạn đã góp ý cho Gia sư Khánh Hòa. Chúc bạn sức khỏe và thành công.