Biến đổi \[\tan x + \cot y\]

Ta có:
\[\begin{array}{l}
 \tan x + \cot y = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos y}}{{\sin y}} = \frac{{\sin x.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{iny + }}\cos x\cos y}}{{\cos x\sin y}} \\
  = \frac{{c{\rm{os}}\left( {x - y} \right)}}{{\cos x\sin y}} \\
 \end{array}\]

Tiếp tục áp dụng công thức tích thành tổng:

\[\sin y\cos x = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {y - x} \right) + \sin \left( {y + x} \right)} \right]\]

\[ \Rightarrow \frac{{c{\rm{os}}\left( {x - y} \right)}}{{\cos x\sin y}} = \frac{{c{\rm{os}}\left( {x - y} \right)}}{{\frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {y - x} \right) + \sin \left( {y + x} \right)} \right]}} = \frac{{2c{\rm{os}}\left( {x - y} \right)}}{{\sin \left( {y - x} \right) + \sin \left( {y + x} \right)}}\]

Vậy:
\[\tan x + \cot y = \frac{{c{\rm{os}}\left( {x - y} \right)}}{{\cos x\sin y}} = \frac{{2c{\rm{os}}\left( {x - y} \right)}}{{\sin \left( {y - x} \right) + \sin \left( {y + x} \right)}}\]