Giải phương trình \[\tan 2x - \tan 3x - \tan 5x = \tan 2x\tan 3x\tan 5x\]

Kiến thức cần nắm:

• Công thức cộng của hàm tan:

\[\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\]

• Công thức cộng của sin và cos:

\[\begin{array}{l}
 \sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b \\
 c{\rm{os}}\left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b \\
 \end{array}\]

• Phương trình lượng giác cơ bản:

\[\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi ;k \in Z\]

Mức độ khó: Theo đánh giá của tác giả bài này không khó trong cách giải, tuy nhiên có thể một số bạn không quen trong trường hợp lập luận trong việc xét nghiệm.

Điều kiện để phương trình có nghiệm:
\[\left\{ \begin{array}{l}
 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 3x \ne \frac{\pi }{2} + m\pi ;m \in Z \\
 5x \ne \frac{\pi }{2} + n\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2};k \in Z \\
 x \ne \frac{\pi }{6} + m\frac{\pi }{3};m \in Z \\
 x \ne \frac{\pi }{{10}} + n\frac{\pi }{5};n \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Chuyển vế của phương trình ta được phương trình mới như sau:
\[\tan 2x - \tan 2x\tan 3x\tan 5x = \tan 3x + \tan 5x\]

Đặt nhân tử chung tan2x bên vế trái:

\[\tan 2x.\left( {1 - \tan 3x\tan 5x} \right) = \tan 3x + \tan 5x\]

Ta có:
\[\begin{array}{l}
 1 - \tan 3x\tan 5x = 1 - \frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}}.\frac{{\sin 5x}}{{c{\rm{os}}5x}} = \frac{{\cos 3x.c{\rm{os}}5x - \sin 3x.\sin 5x}}{{\cos 3x.c{\rm{os}}5x}} \\
  = \frac{{c{\rm{os}}\left( {3x + 5x} \right)}}{{\cos 3x.c{\rm{os}}5x}} \\
  = \frac{{c{\rm{os}}8x}}{{\cos 3x.c{\rm{os}}5x}} \\
 \end{array}\]

và:
\[\begin{array}{l}
 \tan 3x + \tan 5x = \frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}} + \frac{{\sin 5x}}{{c{\rm{os}}5x}} = \frac{{\sin 3x.c{\rm{os}}5x + \cos 3x.\sin 5x}}{{\cos 3x.c{\rm{os}}5x}} \\
  = \frac{{\sin \left( {3x + 5x} \right)}}{{\cos 3x.c{\rm{os}}5x}} \\
  = \frac{{\sin 8x}}{{\cos 3x.c{\rm{os}}5x}} \\
 \end{array}\]

Ta nhận thấy khi:
\[x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{8};k \in Z \Rightarrow c{\rm{os}}8x = 0 \Rightarrow \sin 8x = 1\]

Do đó, phương trình không thể nào nhận

\[x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{8};k \in Z\]

làm nghiệm do đó, nghiệm của phương trình luôn thỏa mãn:

\[1 - \tan 3x\tan 5x \ne 0\]

Do đó, chia hai vế của phương trình cho:

\[1 - \tan 3x\tan 5x\]

ta được:

\[\tan 2x = \frac{{\tan 3x + \tan 5x}}{{1 - \tan 3x.\tan 5x}} = \tan \left( {3x + 5x} \right) = \tan 8x\]

Áp dụng phương trình lượng giác cơ bản:
\[\begin{array}{l}
 8x = 2x + k\pi ;k \in Z \\
  \Leftrightarrow 6x = k\pi ;k \in Z \\
  \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{6};k \in Z \\
 \end{array}\]