Giải phương trình \[\sqrt {c{\rm{os}}2x} + \sqrt {1 + \sin 2x} = 2\sqrt {\cos x + \sin x} \]

Kiến thức cần biết:

• Cách giải phương trình dạng:

\[\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 B \ge 0 \\
 A = {B^2} \\
 \end{array} \right.\]

• Công thức nhân đôi:

\[\sin 2x = 2\sin x.\cos x\]

\[c{\rm{os}}2x = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - {\sin ^2}x\]

Kỹ năng:

• Kỹ năng đặt điều kiện có nghiệm của phương trình.

Mức độ khó: bài này tương đối khó với một số học sinh có kỹ năng yếu trong việc giải phương trình vô tỉ.

Ta nhận thấy:

\[c{\rm{os}}2x = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - {\sin ^2}x = \left( {\cos x - \sin x} \right).\left( {\cos x + \sin x} \right)\]

Và điều kiện để:

\[\sqrt {\cos x + \sin x} \]

có nghĩa là:

\[\cos x + \sin x \ge 0\]

do đó, suy ra điều kiện để:

\[\sqrt {c{\rm{os}}2x} \]

có nghĩa là:

\[\cos x - \sin x \ge 0\]

Mặc khác:

\[1 + \sin 2x = {\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 2\sin x.\cos x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\]

do đó:

\[\sqrt {1 + \sin 2x} \]

luôn luôn có nghĩa cho nên ta không cần đặt điều kiện cho nó.

Tổng hợp lại, điều kiện để phương trình có nghiệm là:

\[\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 \cos x + \sin x \ge 0 \\
 \cos x - \sin x \ge 0 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 0 \\
 \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 0 \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow k2\pi  \le x + \frac{\pi }{4} \le \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
  \Leftrightarrow  - \frac{\pi }{4} + k2\pi  \le x \le \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in Z \\
 \end{array}\]

Phương trình ban đầu được viết lại:
\[\sqrt {\left( {\cos x - \sin x} \right).\left( {\cos x + \sin x} \right)}  + \sqrt {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}  - 2\sqrt {\sin x + \cos x}  = 0\]

Đặt nhân tử chung

\[\begin{array}{l}
 \sqrt {\sin x + \cos x} \left( {\sqrt {\left( {\cos x - \sin x} \right)}  + \sqrt {\sin x + \cos x}  - 2} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \sqrt {\sin x + \cos x}  = 0 \\
 \sqrt {\left( {\cos x - \sin x} \right)}  + \sqrt {\sin x + \cos x}  - 2 = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Với phương trình:
\[\begin{array}{l}
  \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi ;k \in Z \\
  \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z \\
 \end{array}\]

Với phương trình:
\[\sqrt {\left( {\cos x - \sin x} \right)}  + \sqrt {\sin x + \cos x}  - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {\cos x - \sin x} \right)}  + \sqrt {\sin x + \cos x}  = 2\]

Bình phương 2 vế:

\[\begin{array}{l}
 \cos x - \sin x + 2\sqrt {\left( {\cos x - \sin x} \right).\left( {\sin x + \cos x} \right)}  + \sin x + \cos x = 4 \\
  \Leftrightarrow 2\cos x + 2\sqrt {c{\rm{os}}2x}  = 4 \\
  \Leftrightarrow \sqrt {c{\rm{os}}2x}  = 2 - \cos x \\
 \end{array}\]

do
\[2 - \cos x \ge 0;\forall x \in R\]

nên:

\[\begin{array}{l}
  \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = 4 - 4\cos x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
  \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 4\cos x - 5 = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \cos x = 1 \\
 \cos x =  - 5 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array}\]

Kết hợp điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in Z \\
 x = m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]