Giải phương trình \[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}3x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}4x = \frac{3}{2}\]

Kiến thức cần nắm:

• Công thức hạ bậc của hàm cos:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2}\]

• Công thức biến đổi tổng thành tích:

\[\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.c{\rm{os}}\frac{{a - b}}{2}\]

• Công thức nhân đôi:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} \Rightarrow 2{\cos ^2}x = 1 + c{\rm{os}}2x\]

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả bài này khá dễ.

Áp dụng công thức hạ bậc:
\[\begin{array}{l}
 c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} \\
 c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x = \frac{{1 + c{\rm{os4}}x}}{2} \\
 c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}3x = \frac{{1 + c{\rm{os6}}x}}{2} \\
 c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}4x = \frac{{1 + c{\rm{os8}}x}}{2} \\
 \end{array}\]

Phương trình ban đầu được đưa về:

\[\frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} + \frac{{1 + c{\rm{os4}}x}}{2} + \frac{{1 + c{\rm{os6}}x}}{2} + \frac{{1 + c{\rm{os8}}x}}{2} = \frac{3}{2}\]

Biến đổi và rút gọn ta được:
\[c{\rm{os}}2x + c{\rm{os4}}x + c{\rm{os}}6x + c{\rm{os}}8x + 1 = 0\]

Áp dụng công thức nhân đôi:

\[c{\rm{os}}8x + 1 = 2{\cos ^2}4x\]

Tiếp tục áp dụng công thức tổng thành tích:

\[c{\rm{os6}}x + c{\rm{os}}2x = 2\cos \frac{{6x + 2x}}{2}.c{\rm{os}}\frac{{6x - 2x}}{2} = 2\cos 4x.c{\rm{os2}}x\]

Thay các biến đổi trên vào phương trình, ta được:
\[2\cos 4x.c{\rm{os2}}x + c{\rm{os}}4x + 2{\cos ^2}4x = 0\]

Đặt nhân tử chung cos4x:

\[\begin{array}{l}
 c{\rm{os}}4x.\left( {2\cos 2x + 1 + 2\cos 4x} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 c{\rm{os}}4x = 0 \\
 2\cos 2x + 1 + 2\cos 4x = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Với phương trình:
\[c{\rm{os}}4x = 0\]

thì nghiệm là:

\[\begin{array}{l}
 c{\rm{os}}4x = 0 \\
 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{4};k \in Z \\
 \end{array}\]

Với phương trình:
\[2\cos 2x + 1 + 2\cos 4x = 0\]

ta đưa về phương trình bậc hai ẩn là cos2x bằng công thức nhân đôi của hàm cos:

\[\begin{array}{l}
 2\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right) + 2\cos 2x + 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2x + 2\cos 2x - 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 c{\rm{os}}2x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} \\
 c{\rm{os}}2x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4} \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 2x = {\rm{arccos}}\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} + m2\pi ;m \in Z \\
 2x =  - {\rm{arccos}}\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 2x = {\rm{arccos}}\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4} + p2\pi ;p \in Z \\
 2x =  - {\rm{arccos}}\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4} + q2\pi ;q \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{1}{2}{\rm{arccos}}\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} + m\pi ;m \in Z \\
 x =  - \frac{1}{2}{\rm{arccos}}\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4} + n\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{1}{2}{\rm{arccos}}\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4} + p\pi ;p \in Z \\
 x =  - \frac{1}{2}{\rm{arccos}}\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{4} + q\pi ;q \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]