Giải phương trình \[\begin{array}{l} \cot x - 1 = \frac{{c{\rm{os}}2x}}{{1 + \tan x}} + \frac{1}{2}\tan x.\sin 2x \\ - \sin x.\cos x \\ \end{array}\]

Kiến thức cần nắm:

Mức độ khó:

Bài này các bạn có thể giải theo hai cách khác nhau.
Điều kiện có nghiệm của phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}
 x \ne k\frac{\pi }{2};k \in Z \\
 x \ne  - \frac{\pi }{4} + m\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Cách 1: Tiếp cận bài toán theo hướng đưa về phương trình tích. Kỹ thuật thường dùng là tìm các nhân tử chung.
Ta có các biến đổi sau:
\[\begin{array}{l}
 \cot x - 1 = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - 1 = \frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x}} \\
 \frac{{c{\rm{os}}2x}}{{1 + \tan x}} = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} \\
  = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{\frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x}}}} \\
  = \left( {\cos x - \sin x} \right).\cos x \\
 \frac{1}{2}\tan x.\sin 2x - \sin x.\cos x = \frac{1}{2}.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}.2\sin x.\cos x - \sin x.\cos x \\
  = {\sin ^2}x - \sin x.\cos x \\
  = \sin x.\left( {\sin x - \cos x} \right) \\
 \end{array}\]

Do đó phương trình được biến đổi về như sau:

\[\begin{array}{l}
 \frac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x}} = \left( {\cos x - \sin x} \right).\cos x + \sin x.\left( {\sin x - \cos x} \right) \\
  \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right).\left( {\sin x - \cos x + \frac{1}{{\sin x}}} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \sin x - \cos x = 0{\rm{        }}\left( 1 \right) \\
 \sin x - \cos x + \frac{1}{{\sin x}} = 0{\rm{        (2)}} \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Với phương trình (1):
\[\begin{array}{l}
 \sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{4} = k\pi ;k \in Z \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z \\
 \end{array}\]

Với phương trình (2):
Quy đồng bỏ mẫu, ta được:
\[\begin{array}{l}
 {\sin ^2}x - \sin x.\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2} - \frac{1}{2}\sin 2x + 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow 1 - c{\rm{os}}2x - \sin 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x + c{\rm{os}}2x = 3 \\
 \end{array}\]

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy phương trình có một nghiệm:

\[x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z\]

Cách 2: Tiếp cận bài toán theo hướng đặt ẩn số phụ; mối liên hệ giữa sinx, cosx, tanx và tanx/2.
Đặt:
\[t = \tan x \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 \sin 2x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} \\
 c{\rm{os}}2x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} \\
 \cot x = \frac{1}{t} \\
 \end{array} \right.\]

Phương trình trên được biến đổi thành:
\[\begin{array}{l}
 \frac{1}{t} - 1 = \frac{{\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + t}} + \frac{1}{2}t.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{1}{2}.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} \\
  \Leftrightarrow \frac{{1 - t}}{t} = \frac{{1 - t}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{{t^2}}}{{1 + {t^2}}} - \frac{t}{{1 + {t^2}}} \\
  \Leftrightarrow \frac{{1 - t}}{t} = \frac{{1 - 2t + {t^2}}}{{1 + {t^2}}} \Leftrightarrow \frac{{1 - t}}{t} = \frac{{{{\left( {1 - t} \right)}^2}}}{{1 + {t^2}}} \\
  \Leftrightarrow \left( {1 - t} \right).\left( {\frac{1}{t} - \frac{{1 - t}}{{1 + {t^2}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 1 - t = 0{\rm{     }}\left( 1 \right) \\
 2{t^2} - t + 1 = 0{\rm{      }}\left( 2 \right) \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Giải phương trình (1):
\[\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z\]

Giải phương trình (2):
Dễ thấy phương trình (2) vô nghiệm do \[\Delta  =  - 1 < 0\]

Vậy phương trình có một nghiệm:

\[x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z\]