Giải phương trình \[2\sin 2x - 2\cos 2x = \sqrt 2 \] (Bài 30b/ SGKNC11/41)

Chúng ta dễ thấy đây là phương trình lượng giác bậc nhất sin và cos một cung (cung 2x) với hệ số a = 2; b = -2; c = \[\sqrt 2 \]

Nếu các bạn chưa được học lý thuyết giải phương trình lượng giác bậc nhất sin và cos một cung mời các bạn nghiên cứu tại: http://giasukhanhhoa.blogspot.com/2013/08/giai-phuong-trinh.html
Đầu tiên chúng ta kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình:
\[{2^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 8 \ge {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\]

Rõ ràng phương trình trên có nghiệm. Chúng ta chia hai vế của phương trình cho \[2\sqrt 2 \]

ta được:

\[\frac{2}{{2\sqrt 2 }}\sin x - \frac{2}{{2\sqrt 2 }}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 }}\]

Rút gọn và biến đổi, ta được phương trình mới:

\[\frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\]

Ta nhận thấy:
\[\sin \frac{\pi }{4} = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
Do đó, ta có:
\[\sin x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} - \cos x.\sin \frac{\pi }{4} = \frac{1}{2}\]

Áp dụng công thức cộng của hàm sin:

\[\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \sin \alpha .c{\rm{os}}\beta  - c{\rm{os}}\alpha .\sin \beta \]

Ta được:

\[\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\]

Ta có:
\[\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\]

Do đó, phương trình được đưa về dạng:

\[\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\]

Áp dụng phương trình lượng giác cơ bản đối với hàm sin:

\[\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \alpha  + k2\pi ;k \in Z \\
 x = \pi  - \alpha  + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Như vậy, nghiệm của phương trình:
\[\left[ \begin{array}{l}
 x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi ;k \in Z \\
 x - \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{\pi }{6} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Chuyển vế và tính toán, ta được nghiệm:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{{13\pi }}{{12}} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]