Công thức liên hệ giữa \[\sin x,\cos x,\tan x\] với \[\tan \frac{x}{2}\]

Trong nhiều bài toán lượng giác, chúng ta cần mối liên hệ giữa \[\tan \frac{x}{2}\] với \[\sin x,\cos x,\tan x\]

Để đơn giản, chúng ta thường đặt:

\[t = \tan \frac{x}{2}\]

Đầu tiên chúng ta áp dụng công thức nhân đôi của hàm tan:

\[\tan x = \tan \left( {2.\frac{x}{2}} \right) = \frac{{2\tan \frac{x}{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\]

Chúng ta đã có công thức:
\[\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x \Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}}\]

Áp dụng cho góc x/2, ta được:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2} = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{1}{{1 + {t^2}}}\]

Lại áp dụng công thức nhân đôi cho góc x/2:

\[\cos x = c{\rm{os}}2.\frac{x}{2} = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 1 = \frac{2}{{1 + {t^2}}} - 1 = \frac{{2 - 1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\]

Áp dụng công thức nhân đôi cho hàm sinx:
\[\sin x = 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2} = \frac{{\frac{{2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2}}}}}{{\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2}}}}} = \frac{{2\tan \frac{x}{2}}}{{1 + {{\tan }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\]