Giải phương trình \[3\sin x - 4\cot \frac{x}{2} + \cos x + 1 = 0\]

Kiến thức cần nắm:

• Công thức liên hệ giữa sinx, cosx, tanx và 

\[\tan \frac{x}{2}\]

Nếu các bạn quên thì có thể  xem lại tại đây

• Công thức liên hệ giữa tan và cot:

\[\tan x.\cot x = 1 \Rightarrow \cot x = \frac{1}{{\tan x}}\]

• Điều kiện của nghĩa của hàm cotx:

\[x \ne k\pi ;k \in Z\]

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả, bài này ở mức độ vừa phải.
Điều kiện có nghiệm của phương trình:
\[\frac{x}{2} \ne k\pi ;k \in Z \Rightarrow x \ne k2\pi ;k \in Z\]
Ta có:
\[\cot \frac{x}{2} = \frac{1}{{\tan \frac{x}{2}}}\]

Đặt:

\[t = \tan \frac{x}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 \cot \frac{x}{2} = \frac{1}{t} \\
 \sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} \\
 \cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} \\
 \end{array} \right.\]

Thay vào phương trình:

\[\begin{array}{l}
 3.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - 4.\frac{1}{t} + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} + 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow 6{t^2} - 4\left( {1 + {t^2}} \right) + \left( {1 - {t^2}} \right).t + t.\left( {1 + {t^2}} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow 2{t^2} + 2t - 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 t = 1 \\
 t =  - 2 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Với t = 1:
\[\tan \frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z\]

Với t = -2:
\[\tan \frac{x}{2} =  - 2 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \arctan \left( { - 2} \right) + m\pi ;m \in Z \Leftrightarrow x = 2\arctan \left( { - 2} \right) + m2\pi ;m \in Z\]

Vậy phương trình có hai nghiệm:
\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
 x = 2\arctan \left( { - 2} \right) + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]