Cách giải phương trình thuần nhất đối với sin và cos

Định nghĩa. Phương trình thuần nhất đối với sin và cos có dạng:
\[{\rm{a}}{\sin ^2}x + b\sin x.\cos x + c{\cos ^2}x + d = 0\]



Các kiến thức cần biết trước khi giải phương trình dạng này:

• Nắm được công thức hạ bậc của sin và cos:

\[{\sin ^2}x = \frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2}\]

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2}\]

• Công thức nhân đôi:

\[\sin 2x = 2\sin x.\cos x \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\]

• Công thức lượng giác cơ bản:

\[\begin{array}{l}
 \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x \\
 \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x \\
 \end{array}\]

Có hai cách giải phương trình dạng này.

Cách 1: Đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất sin và cos một cung.
Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi, ta đưa phương trình biến đổi thành:
\[\begin{array}{l}
 a.\frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2} + b.\frac{1}{2}\sin 2x + c.\frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} + d = 0 \\
  \Leftrightarrow a - a.\cos 2x + b.\sin 2x + c + c.c{\rm{os}}2x + 2d = 0 \\
  \Leftrightarrow \left( {c - a} \right).c{\rm{os}}2x + b.\sin 2x + 2d + a + c = 0 \\
 \end{array}\]

Đây là phương trình bậc nhất sin và cos một cung (cung 2x). Các bạn tham khảo cách giải tại đây:

                               
                               Cách giải phương trình bậc nhất sin và cos một cung

Cách 2: Đưa phương trình về phương trình bậc hai hàm lượng giác theo tan hoặc cot.
Đưa về phương trình bậc hai của tan:

• Xét 

\[x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z\]

có là nghiệm của phương trình không?
Dễ thấy khi \[x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z\] thì