Giải phương trình $${\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x = {\sin ^4}4x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}4x$$

Kiến thức cần biết:

• Công thức biến đổi rất thông dụng trong lượng giác: Xem tại đây
• Công thức lượng giác cơ bản: công thức cos đối

Ta có:
$${\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x$$

và:

$${\sin ^4}4x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}4x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}8x$$

Do đó phương trình ban đầu được biến đổi về dạng:

$$\begin{array}{l}  1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}8x \\   \Leftrightarrow {\sin ^2}8x - {\sin ^2}2x = 0 \\   \Leftrightarrow \left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)\left( {\sin 8x - \sin 2x} \right) = 0 \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  \sin 8x = \sin 2x \\  \sin 8x =  - \sin 2x \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  \left[ \begin{array}{l}  8x = 2x + k2\pi ;k \in Z \\  8x = \pi  - 2x + m2\pi ;m \in Z \\  \end{array} \right. \\  \sin 8x = \sin \left( { - 2x} \right) \\  \end{array} \right. \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  \left[ \begin{array}{l}  6x = k2\pi ;k \in Z \\  10x = \pi  + m2\pi ;m \in Z \\  \end{array} \right. \\  \left[ \begin{array}{l}  8x =  - 2x + n2\pi ;n \in Z \\  8x = \pi  - \left( { - 2x} \right) + p2\pi ;p \in Z \\  \end{array} \right. \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  \left[ \begin{array}{l}  x = k\frac{\pi }{3};k \in Z \\  x = \frac{\pi }{{10}} + m\frac{\pi }{5};m \in Z \\  \end{array} \right. \\  \left[ \begin{array}{l}  10x = n2\pi ;n \in Z \\  6x = \pi  + p2\pi ;p \in Z \\  \end{array} \right. \\  \end{array} \right. \\   \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  \left[ \begin{array}{l}  x = k\frac{\pi }{3};k \in Z \\  x = \frac{\pi }{{10}} + m\frac{\pi }{5};m \in Z \\  \end{array} \right. \\  \left[ \begin{array}{l}  x = n\frac{\pi }{5};n \in Z \\  x = \frac{\pi }{6} + p\frac{\pi }{3};p \in Z \\  \end{array} \right. \\  \end{array} \right. \\  \end{array}$$