Giải phương trình \[{\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x = {\sin ^4}4x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}4x\]

Kiến thức cần biết:

• Công thức biến đổi rất thông dụng trong lượng giác: Xem tại đây
• Công thức lượng giác cơ bản: công thức cos đối

Ta có:
\[{\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\]

và:

\[{\sin ^4}4x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}4x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}8x\]

Do đó phương trình ban đầu được biến đổi về dạng:

\[\begin{array}{l}
 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}8x \\
  \Leftrightarrow {\sin ^2}8x - {\sin ^2}2x = 0 \\
  \Leftrightarrow \left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)\left( {\sin 8x - \sin 2x} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \sin 8x = \sin 2x \\
 \sin 8x =  - \sin 2x \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 8x = 2x + k2\pi ;k \in Z \\
 8x = \pi  - 2x + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \sin 8x = \sin \left( { - 2x} \right) \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 6x = k2\pi ;k \in Z \\
 10x = \pi  + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 8x =  - 2x + n2\pi ;n \in Z \\
 8x = \pi  - \left( { - 2x} \right) + p2\pi ;p \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 x = k\frac{\pi }{3};k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{{10}} + m\frac{\pi }{5};m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 10x = n2\pi ;n \in Z \\
 6x = \pi  + p2\pi ;p \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 x = k\frac{\pi }{3};k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{{10}} + m\frac{\pi }{5};m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x = n\frac{\pi }{5};n \in Z \\
 x = \frac{\pi }{6} + p\frac{\pi }{3};p \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]