Giải phương trình \[\frac{{\cos \frac{{4x}}{3} - {{\cos }^2}x}}{{\sqrt {1 - {{\cot }^2}x} }} = 0\]

Kiến thức cần nắm:

• Công thức hạ bậc:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2}\]

• Công thức nhân đôi:

\[\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\]

• Công thức nhân ba:

\[c{\rm{os3}}x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\]

Mức độ khó: Theo đánh giác chủ quan của tác giả bài này tương đối khó với một số bạn nếu không nghĩ ra cách đặt ẩn số phụ.

Ta có các biến đổi sau:
\[1 - {\cot ^2}x = 1 - \frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} =  - \frac{{c{\rm{os}}2x}}{{{{\sin }^2}x}}\]

Do đó điều kiện có nghiệm của phương trình:

\[\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 x \ne k\pi ;k \in Z \\
 c{\rm{os}}2x < 0 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x \ne k\pi ;k \in Z \\
 \frac{\pi }{2} + m2\pi  < 2x < \frac{{3\pi }}{2} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \frac{\pi }{4} + k\pi  < x < \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ;k \in Z \\
 \end{array}\]

Phương trình ban đầu tương đương với:
\[\cos \frac{{4x}}{3} - {\cos ^2}x = 0\]

Đặt \[t = \frac{x}{3}\]

ta được:
\[c{\rm{os4}}t - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}3t = 0\]

Áp dụng công thức hạ bậc, nhân đôi và công thức nhân ba:

\[\begin{array}{l}
 c{\rm{os}}4t = 2{\cos ^2}2t - 1 \\
 c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}3t = \frac{{1 + c{\rm{os}}6t}}{2} \\
 c{\rm{os}}6t = 4{\cos ^3}2t - 3\cos 2t \\
 \end{array}\]

Thay vào phương trình ta được:

\[\begin{array}{l}
 2{\cos ^2}2t - 1 - \frac{{1 + c{\rm{os}}6t}}{2} = 0 \\
  \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2t - 2 - 1 - c{\rm{os}}6t = 0 \\
  \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2t - 3 - \left( {4{{\cos }^3}2t - 3\cos 2t} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow  - 4{\cos ^3}2t + 4{\cos ^2}2t + 3\cos 2t - 3 = 0 \\
 \end{array}\]

Dễ thấy phương trình có nghiệm cos2t = 1, sử dụng phương pháp Horner, ta đưa phương trình về dạng:
\[\begin{array}{l}
 \left( {c{\rm{os}}2t - 1} \right)\left( { - 4{{\cos }^2}2t + 3} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 c{\rm{os}}2t - 1 = 0 \\
  - 4{\cos ^2}2t + 3 = 0 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 c{\rm{os}}2t = 1 \\
 \left[ \begin{array}{l}
 c{\rm{os}}2t = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\
 c{\rm{os}}2t =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 2t = k2\pi ;k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 2t = \frac{\pi }{6} + m2\pi ;m \in Z \\
 2t =  - \frac{\pi }{6} + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 2t = \frac{{5\pi }}{6} + p2\pi ;p \in Z \\
 2t =  - \frac{{5\pi }}{6} + q2\pi ;q \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 t = k\pi ;k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 t = \frac{\pi }{{12}} + m\pi ;m \in Z \\
 t =  - \frac{\pi }{{12}} + n\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 t = \frac{{5\pi }}{{12}} + p\pi ;p \in Z \\
 t =  - \frac{{5\pi }}{{12}} + q\pi ;q \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Chuyển qua ẩn x ta được:
\[\left[ \begin{array}{l}
 \frac{x}{3} = k\pi ;k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 \frac{x}{3} = \frac{\pi }{{12}} + m\pi ;m \in Z \\
 \frac{x}{3} =  - \frac{\pi }{{12}} + n\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 \frac{x}{3} = \frac{{5\pi }}{{12}} + p\pi ;p \in Z \\
 \frac{x}{3} =  - \frac{{5\pi }}{{12}} + q\pi ;q \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = k3\pi ;k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{4} + m4\pi ;m \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{4} + n4\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{{5\pi }}{4} + p4\pi ;p \in Z \\
 x =  - \frac{{5\pi }}{4} + q4\pi ;q \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right.\]

So với điều kiện, ta thấy phương trình vô nghiệm.