Cho \[a,b \ge 0\] và thỏa mãn: \[\sqrt a + \sqrt b = 1\] Chứng minh rằng: \[ab{\left( {a + b} \right)^2} \le \frac{1}{{64}}\]

Bất đẳng thức cần chứng minh được coi như tương đương với bất đẳng thức sau:

\[\sqrt {ab} \left( {a + b} \right) \le \frac{1}{8}\]

Để hiểu rõ các bạn cần xem lại tính chất của bất đẳng thức

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng:
\[ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\]

Nếu các bạn không hiểu bất đẳng thức Cauchy dạng này các bạn nên xem lại bài viết về Bất đẳng thức Cauchy

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng trên:
\[\begin{array}{l}
 \sqrt {ab} \left( {a + b} \right) = \frac{1}{2}.2\sqrt {ab} \left( {a + b} \right) \le \frac{1}{2}{\left( {\frac{{2\sqrt {ab}  + a + b}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}{\left( {\frac{{{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2}}}{2}} \right)^2} \\
  \Leftrightarrow \sqrt {ab} \left( {a + b} \right) \le \frac{1}{2}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{8} \\
 \end{array}\]

Áp dụng tính chất này:
\[0 \le a \le b \Rightarrow {a^2} \le {b^2}\]
( Các bạn muốn xem chứng minh tính chất này tại đây: tính chất bất đẳng thức)
ta suy ra điều phải chứng minh:
\[\begin{array}{l}
 {\left( {\sqrt {ab} \left( {a + b} \right)} \right)^2} \le {\left( {\frac{1}{8}} \right)^2} \\
  \Leftrightarrow ab{\left( {a + b} \right)^2} \le \frac{1}{{64}} \\
 \end{array}\]