Cho các số dương a, b thỏa mãn: $$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 2$$ Chứng minh rằng: $$a + b \ge 2$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số $$\frac{1}{{{a^2}}};\frac{1}{{{b^2}}}$$

và kết hợp với giả thiết ta có:

$$2 = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}}.\frac{1}{{{b^2}}}}  = \frac{2}{{ab}}$$

Suy ra:
$$1 \ge \frac{1}{{ab}}$$

Do

$$a,b \ge 0 \Rightarrow ab \ge 0$$

Áp dụng tính chất bất đẳng thức, nhân hai vế cho ab, ta được:
$$ab.1 \ge \frac{1}{{ab}}.ab \Rightarrow ab \ge 1 \Rightarrow \sqrt {ab}  \ge 1$$

Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a,b:

$$a + b \ge 2\sqrt {ab}  \ge 2$$

Suy ra, điều phải chứng minh.