Cho các số dương a, b thỏa mãn: \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 2\] Chứng minh rằng: \[a + b \ge 2\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số \[\frac{1}{{{a^2}}};\frac{1}{{{b^2}}}\]

và kết hợp với giả thiết ta có:

\[2 = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}}.\frac{1}{{{b^2}}}}  = \frac{2}{{ab}}\]

Suy ra:
\[1 \ge \frac{1}{{ab}}\]

Do

\[a,b \ge 0 \Rightarrow ab \ge 0\]

Áp dụng tính chất bất đẳng thức, nhân hai vế cho ab, ta được:
\[ab.1 \ge \frac{1}{{ab}}.ab \Rightarrow ab \ge 1 \Rightarrow \sqrt {ab}  \ge 1\]

Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a,b:

\[a + b \ge 2\sqrt {ab}  \ge 2\]

Suy ra, điều phải chứng minh.