Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 2. Chứng minh: \[{x^3}{y^3}\left( {{x^3} + {y^3}} \right) \le 2\]

Kiến thức cần có:

• Bất dẳng thức Cauchy.

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả bài toán này không khó, mức độ vừa phải.

Ta có hằng đằng thức:
\[{x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\]

Kết hợp giả thiết, ta được:

\[{x^3} + {y^3} = 2\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\]

Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với việc chứng minh bất đẳng thức:

\[{x^3}{y^3}\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) \le 1\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm a, b, c, d:
\[\frac{{a + b + c + d}}{4} \ge \sqrt[4]{{abcd}}\]

Mũ bốn hai vế, ta được:

\[{\left( {\frac{{a + b + c + d}}{4}} \right)^4} \ge abcd\]

Áp dụng bất đẳng thức trên với a = xy; b = xy; c = xy và:
\[d = {x^2} - xy + {y^2}\]

ta được:
\[\begin{array}{l}
 {x^3}{y^3}\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = xy.xy.xy.\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) \le {\left( {\frac{{xy + xy + xy + {x^2} - xy + {y^2}}}{4}} \right)^4} \\
  \Rightarrow {x^3}{y^3}\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) \le {\left( {\frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{2^2}}}{4}} \right)^2} = 1 \\
 \end{array}\]