Giải phương trình \[4\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) + 3\sin 2x - 11 = 0\]

Kiến thức cần nắm:

• Kỹ thuật giải phương trình đối xứng loại 1.
• Công thức nhân đôi của hàm sin.

Mức độ khó: Theo ý kiến chủ quan của tác giả thì bài này thuộc loại bài toán khá dễ, bởi bài này thuộc dạng áp dụng, không đòi hỏi khả năng biến đổi, tư duy nhiều.

Phân tích:
Ta nhận thấy đây là bài toán thuộc dạng phương trình đối xứng loại 1, là một bài toán có phương pháp giải cụ thể.
Các bạn nào chưa biết hoặc quên phương pháp giải phương trình dạng này có thể xem lại:
                                Cách giải phương trình đối xứng loại 1
Đầu tiên ta nhận thấy trong phương trình có chứa sin2x, do đó ta áp dụng công thức nhân đôi của hàm sin:
\[\sin 2x = 2\sin x.\cos x\]

Do đó ta đưa về phương trình đối xứng loại 1:
\[4\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) + 6\sin x.\cos x - 11 = 0\]

Ta đặt:

\[t = \sin x + \cos x\]

Điều kiện của t:
\[ - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 \]

Suy ra:

\[\sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\]

Thay vào phương trình:

\[\begin{array}{l}
 4\sqrt 2 t + 6.\frac{{{t^2} - 1}}{2} - 11 = 0 \\
 3{t^2} + 4\sqrt 2 t - 14 = 0 \\
 \end{array}\]
Tính:
\[\Delta ' = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + 3.14 = 50 \Rightarrow \sqrt {\Delta '}  = 5\sqrt 2 \]

Phương trình này có nghiệm:

\[t = \frac{{ - 2\sqrt 2  - 5\sqrt 2 }}{3} =  - \frac{7}{3}\sqrt 2  <  - \sqrt 2 \]

và:

\[t = \frac{{ - 2\sqrt 2  + 5\sqrt 2 }}{3} = \sqrt 2 \]

Với
\[t =  - \frac{7}{3}\sqrt 2 \]

loại vì không thỏa điều kiện của t.

Với

\[t = \sqrt 2 \]

ta giải phương trình:

\[\begin{array}{l}
 \sin x + \cos x = \sqrt 2  \\
  \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2  \\
  \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \\
  \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in Z \\
 \end{array}\]