Giải phương trình \[{\left( {\sin x + \cos x} \right)^3} + \sin x\cos x - 1 = 0\]

Kiến thức cần nắm:

• Cách giải phương trình đối xứng loại 1.

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả thì bài này là một bài khá dễ vì có phương pháp giải cụ thể.
Nếu các bạn quên hoặc chưa biết có thể xem lại cách giải sau tại đây: Cách giải phương trình đối xứng loại 1
Ta đặt:
\[t = \sin x + \cos x\]

Điều kiện của t:

\[ - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 \]

Suy ra:

\[\sin x.\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\]

Thay vào phương trình ban đầu, ta được phương trình bậc ba ẩn t:

\[\begin{array}{l}
 {t^3} + \frac{{{t^2} - 1}}{2} - 1 = 0 \\
 2{t^3} + {t^2} - 3 = 0 \\
 \end{array}\]

Dễ thấy phương trình này có nghiệm t = 1, sử dụng sơ đồ Horner ta đưa phương trình về dạng:
\[\begin{array}{l}
 \left( {t - 1} \right)\left( {2{t^2} + 3t + 3} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 t - 1 = 0 \\
 2{t^2} + 3t + 3 = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Như vậy phương trình có một nghiệm t = 1; còn phương trình

\[2{t^2} + 3t + 3 = 0\]

vô nghiệm vì delta âm.

Do đó ta giải tiếp phương trình:

\[\begin{array}{l}
 \sin x + \cos x = 1 \\
  \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \\
  \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \frac{\pi }{4} \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in Z \\
 x + \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{\pi }{4} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = k2\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{2} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm:
\[\left[ \begin{array}{l}
 x = k2\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{2} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]