Giải phương trình \[\sqrt[3]{{7 + \tan x}} + \sqrt[3]{{2 - \tan x}} = 3\]

Kiến thức cần nắm:

• Kiến thức giải hệ phương trình đối xứng loại 1.
• Hằng đẳng thức đáng nhớ:

\[\begin{array}{l}
 {a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + 2ab + {b^2} - 3ab} \right) \\
  = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 3ab} \right] \\
 \end{array}\]

• Phương trình lượng giác:

\[\tan x = \alpha  \Leftrightarrow x = \arctan \alpha  + k\pi ;k \in Z\]

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả bài này tương đối khó. Các bạn chưa gặp dạng từ phương trình lượng giác, đặt ẩn số phụ đưa về hệ phương trình đại số thì có lẻ bài này sẽ vất vả cho các bạn.
Bài này chúng ta không cần đặt điều kiện vì với căn bậc ba biểu thức trong căn có giá trị tùy ý.
Đặt:
\[\left\{ \begin{array}{l}
 u = \sqrt[3]{{7 + \tan x}} \\
 v = \sqrt[3]{{2 - \tan x}} \\
 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 {u^3} = 7 + \tan x \\
 {v^3} = 2 - \tan x \\
 \end{array} \right. \Rightarrow {u^3} + {v^3} = 9\]

Ta có hệ phương trình:

\[\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 {u^3} + {v^3} = 9 \\
 u + v = 3 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 \left( {u + v} \right)\left[ {{{\left( {u + v} \right)}^2} - 3uv} \right] = 9 \\
 u + v = 3 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 uv = 2 \\
 u + v = 3 \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 u = 1 \\
 v = 2 \\
 \end{array} \right. \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 u = 2 \\
 v = 1 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Với:
\[\left\{ \begin{array}{l}
 u = 1 \\
 v = 2 \\
 \end{array} \right.\]

Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
 \tan x =  - 6 \\
 \tan x =  - 6 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \tan x =  - 6 \Leftrightarrow x = \arctan \left( { - 6} \right) + k\pi ;k \in Z\]

Với:
\[\left\{ \begin{array}{l}
 u = 2 \\
 v = 1 \\
 \end{array} \right.\]

Ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}
 \tan x = 1 \\
 \tan x = 1 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + m\pi ;m \in Z\]

Vậy phương trình có hai nghiệm:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \arctan \left( { - 6} \right) + k\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{4} + m\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]