Giải phương trình \[\begin{array}{l} \sqrt {4{{\sin }^2}x + 5\sin x + 1} + 2\sqrt {{{\sin }^2}x - \sin x + 1} \\ = 9\sin x - 3 \\ \end{array}\]

Kiến thức cần nắm:

• Dạng phương trình:

\[\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 B \ge 0 \\
 A = {B^2} \\
 \end{array} \right.\]

• Phương trình lượng giác dạng:

\[\sin x = \alpha ; - 1 \le \alpha  \le 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \arcsin \alpha  + k2\pi ;k \in Z \\
 x = \pi  - \arcsin \alpha  + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Mức độ khó: Đây là một bài toán tương đối khó. Khó trong cả đặt điều kiện có nghiệm và phương hướng tìm ra lời giải.

Ta có:
\[\begin{array}{l}
 {\sin ^2}x - \sin x + 1 = {\sin ^2}x - 2.\frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = {\left( {\sin x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \\
  \Rightarrow {\sin ^2}x - \sin x + 1 \ge \frac{3}{4} > 0;\forall x \in R \\
 \end{array}\]

nên không cần đặt điều kiện của \[\sqrt {{{\sin }^2}x - \sin x + 1} \]

Ta nhận thấy vế phải của phương trình phải lớn hơn hoặc bằng 0, do đó:
\[9\sin x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \sin x \ge \frac{1}{3}\]

Khi đó biểu thức 

\[4{\sin ^2}x + 5\sin x + 1 \ge 0\]

Vậy nên điều kiện để phương trình có nghiệm là:
\[\sin x \ge \frac{1}{3}\]

Phương trình được biến đổi về:

\[\begin{array}{l}
 \sqrt {4{{\sin }^2}x + 5\sin x + 1}  + \sqrt {4{{\sin }^2}x - 4\sin x + 4}  \\
  = 9\sin x - 3 \\
 \end{array}\]

Ta đặt:

\[\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 u = \sqrt {4{{\sin }^2}x + 5\sin x + 1} {\rm{   }};u \ge 0 \\
 v = \sqrt {4{{\sin }^2}x - 4\sin x + 4} {\rm{  ;v > 0}} \\
 \end{array} \right. \\
  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 {u^2} = 4{\sin ^2}x + 5\sin x + 1 \\
 {v^2} = 4{\sin ^2}x - 4\sin x + 4 \\
 \end{array} \right. \\
  \Rightarrow {u^2} - {v^2} = 9\sin x - 3 \\
 \end{array}\]

Do đó ta có hệ phương trình:
\[\begin{array}{l}
 \left\{ \begin{array}{l}
 {u^2} - {v^2} = 9\sin x - 3 \\
 u + v = 9\sin x - 3 \\
 \end{array} \right. \Rightarrow {u^2} - {v^2} = u + v \\
  \Leftrightarrow \left( {u + v} \right)\left( {u - v - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 u + v = 0 \\
 u - v - 1 = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Do \[\left\{ \begin{array}{l}
 u \ge 0 \\
 v > 0 \\
 \end{array} \right. \Rightarrow u + v > 0\]

Suy ra phương trình u + v = 0 vô nghiệm.

Với phương trình u - v - 1 = 0, ta được:
\[\begin{array}{l}
 \sqrt {4{{\sin }^2}x + 5\sin x + 1}  - \sqrt {4{{\sin }^2}x - 4\sin x + 4}  - 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow \sqrt {4{{\sin }^2}x + 5\sin x + 1}  = \sqrt {4{{\sin }^2}x - 4\sin x + 4}  + 1 \\
  \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + 5\sin x + 1 = 4{\sin ^2}x - 4\sin x + 4 + 2\sqrt {4{{\sin }^2}x - 4\sin x + 4}  + 1 \\
  \Leftrightarrow 2\sqrt {4{{\sin }^2}x - 4\sin x + 4}  = 9\sin x - 4 \\
  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 \sin x \ge \frac{4}{9} \\
 4\left( {4{{\sin }^2}x - 4\sin x + 4} \right) = {\left( {9\sin x - 4} \right)^2} \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 \sin x \ge \frac{4}{9} \\
 65{\sin ^2}x - 56\sin x = 0 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x = \frac{{56}}{{65}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \arcsin \frac{{56}}{{65}} + k2\pi ;k \in Z \\
 x = \pi  - \arcsin \frac{{56}}{{65}} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]