Biến đổi 1: \[{\sin ^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\]
\[\begin{array}{l}
\sin 2x = 2\sin x.\cos x \Rightarrow {\sin ^2}2x = {\left( {2\sin x.\cos x} \right)^2} = 4{\sin ^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
\Rightarrow {\sin ^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{1}{4}{\sin ^2}2x \\
\end{array}\]
\sin 2x = 2\sin x.\cos x \Rightarrow {\sin ^2}2x = {\left( {2\sin x.\cos x} \right)^2} = 4{\sin ^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
\Rightarrow {\sin ^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{1}{4}{\sin ^2}2x \\
\end{array}\]
Biến đổi 2: \[{\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x\]\[\begin{array}{l}
{\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^2} = \\
\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x} \right)}^2} + 2{{\sin }^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + {{\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)}^2}} \right] - 2{\sin ^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
= {\left( {{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
= 1 - 2.\frac{1}{4}{\sin ^2}2x \\
= 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \\
\end{array}\]
{\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^2} = \\
\left[ {{{\left( {{{\sin }^2}x} \right)}^2} + 2{{\sin }^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + {{\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)}^2}} \right] - 2{\sin ^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
= {\left( {{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
= 1 - 2.\frac{1}{4}{\sin ^2}2x \\
= 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \\
\end{array}\]
Biến đổi 3: \[1 - c{\rm{os}}2x\]
Từ công thức hạ bậc: \[{\sin ^2}x = \frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2}\]
Suy ra:
\[1 - c{\rm{os}}2x = 2{\sin ^2}x\]
Biến đổi 4:
Biến đổi 5:
Ta đặt:
\[t = \tan \frac{x}{2}\]
Biến đổi 5:
Ta đặt:
\[t = \tan \frac{x}{2}\]
ta cần biến đổi sinx, cosx, tanx theo t.
Áp dụng công thức nhân đôi:
\[\tan x = \tan \left( {2.\frac{x}{2}} \right) = \frac{{2\tan \frac{x}{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\]
\[\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} + \frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} = 1 + {\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)^2} = 1 + {\tan ^2}x\]