Giải phương trình \[\tan x + \cot x - c{\rm{os}}4x = 3\]

Kiến thức cần nắm:

• Công thức nhân đôi:

\[c{\rm{os}}2x = 1 - 2{\sin ^2}x\]
\[\sin 2x = 2\sin x.\cos x\]

• Công thức lượng giác cơ bản của tan và cot:

\[\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}};\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\]

• Nắm được điều kiện có nghĩa của hàm tanx:

\[x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z\]

•  và điều kiện có nghĩa của hàm cotx:

\[x \ne m\pi ;m \in Z\]

Kỹ năng cần thiết:

• Biến đổi linh hoạt để đưa phương trình về dạng quen thuộc.
• Đặt điều kiện có nghiệm của phương trình.

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả bài này không khó.

Điều kiện có nghiệm:
\[\left\{ \begin{array}{l}
 x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 x \ne m\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2};k \in Z\]

Ta có biến đổi:
\[\begin{array}{l}
 \sin 2x = 2\sin x.\cos x \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x \\
 \tan x + \cot x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}{{\sin x.\cos x}} \\
  = \frac{1}{{\frac{1}{2}\sin 2x}} \\
  = \frac{2}{{\sin 2x}} \\
 \end{array}\]

Thay vào phương trình, ta được:
\[\frac{2}{{\sin 2x}} - c{\rm{os}}4x = 3\]

Quy đồng, bỏ mẫu và biến đổi:

\[\begin{array}{l}
 2 - c{\rm{os}}4x.\sin 2x - 3\sin 2x = 0 \\
  \Leftrightarrow 2 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}2x} \right)\sin 2x - 3\sin 2x = 0 \\
  \Leftrightarrow 2{\sin ^3}2x - 4\sin 2x + 2 = 0 \\
 \end{array}\]

Dễ thấy, sin2x = 1 là một nghiệm; sử dụng sơ đồ Horner, ta được:

\[\begin{array}{l}
 2\left( {\sin 2x - 1} \right)\left( {{{\sin }^2}2x + \sin 2x - 1} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \sin 2x - 1 = 0 \\
 {\sin ^2}2x + \sin 2x - 1 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \sin 2x = 1 \\
 \left[ \begin{array}{l}
 \sin 2x = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}(l) \\
 \sin 2x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 2x = \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + m2\pi ;m \in Z \\
 2x = \pi  - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{1}{2}\arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} + m\pi ;m \in Z \\
 x = \frac{1}{2}\left( {\pi  - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) + n\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]