Giải phương trình \[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x + 4\sin 2x.\cos x + 2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 1 = 0\]

Ta áp dụng công thức nhân đôi với góc \[\frac{x}{2}\]

như sau:

Ta đã biết:

\[c{\rm{os}}2x = 2{\cos ^2}x - 1\]

Do đó:

\[\cos x = \cos 2.\frac{x}{2} = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 1\]

Áp dụng vào phương trình ta được:
\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x + 4\sin 2x.\cos x + \cos x = 0\]

Ta thấy cosx chung nên ta đặt lấy cosx làm nhân tử chung, ta được:

\[\cos x.\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 4\sin 2x + 1} \right) = 0\]

Áp dụng phương trình tích, ta được:

\[\left[ \begin{array}{l}
 \cos x = 0 \\
 c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 4\sin 2x + 1 = 0 \\
 \end{array} \right.\]

Với phương trình
\[\cos x = 0\]

ta có nghiệm:

\[x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z\]

Với phương trình:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 4\sin 2x + 1 = 0\]

Sử dụng công thức hạ bậc của cos:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2}\]

Thay vào phương trình:
\[\frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} + 4\sin 2x + 1 = 0\]

Nhân hai vế phương trình cho 2:

\[1 + c{\rm{os}}2x + 8\sin 2x + 2 = 0\]

Tính toán, biến đổi ta được phương trình bậc nhất sin và cos một cung (cung 2x):

\[8\sin 2x + c{\rm{os}}2x =  - 3\]

Rõ ràng dễ thấy phương trình này có nghiệm bởi:
\[{8^2} + {1^2} = 65 \ge {\left( { - 3} \right)^2} = 9\]

Chia hai vế phương trình cho \[\sqrt {{8^2} + {1^2}}  = \sqrt {65} \]

ta được:

\[\frac{8}{{\sqrt {65} }}\sin 2x + \frac{1}{{\sqrt {65} }}c{\rm{os}}2x = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {65} }}\]

Nếu ta đặt:
\[c{\rm{os}}\alpha  = \frac{8}{{\sqrt {65} }}\]

thì:

\[\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt {65} }}\]

phương trình trên được viết lại:

\[\sin 2x.c{\rm{os}}\alpha  + c{\rm{os}}2x.\sin \alpha  = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {65} }}\]

Nhắc lại công thức cộng của hàm sin:

\[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\]

Áp dụng công thức cộng của hàm sin vào phương trình trên, ta được:

\[\sin \left( {2x + \alpha } \right) = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {65} }}\]

Ta luôn tìm được góc
\[\beta \]

sao cho:

\[\sin \beta  = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {65} }}\]

Do đó ta có phương trình lượng giác cơ bản:

\[\sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin \beta \]

Phương trình này có nghiệm:

\[\left[ \begin{array}{l}
 2x + \alpha  = \beta  + m2\pi ;m \in Z \\
 2x + \alpha  = \pi  - \beta  + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Chuyển \[\alpha \]
sang vế phải, ta được:
\[\left[ \begin{array}{l}
 2x = \beta  - \alpha  + m2\pi ;m \in Z \\
 2x = \pi  - \beta  - \alpha  + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Chia hai vế cho 2, ta được:
\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{1}{2}\left( {\beta  - \alpha } \right) + m\pi ;m \in Z \\
 x = \frac{1}{2}\left( {\pi  - \beta  - \alpha } \right) + n\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Với:
\[\sin \beta  = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {65} }}\]

thì:

\[\beta  = \arcsin \left( {\frac{{ - 3}}{{\sqrt {65} }}} \right)\]

và:

\[\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt {65} }}\]

thì:

\[\alpha  = \arcsin \frac{1}{{\sqrt {65} }}\]

Thay vào công thức nghiệm ta được:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{1}{2}\left( {\arcsin \left( {\frac{{ - 3}}{{\sqrt {65} }}} \right) - \arcsin \frac{1}{{\sqrt {65} }}} \right) + m\pi ;m \in Z \\
 x = \frac{1}{2}\left( {\pi  - \arcsin \left( {\frac{{ - 3}}{{\sqrt {65} }}} \right) - \arcsin \frac{1}{{\sqrt {65} }}} \right) + n\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Kết hợp với nghiệm tìm được trước đó, phương trình đã cho có 3 nghiệm:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{1}{2}\left( {\arcsin \left( {\frac{{ - 3}}{{\sqrt {65} }}} \right) - \arcsin \frac{1}{{\sqrt {65} }}} \right) + m\pi ;m \in Z \\
 x = \frac{1}{2}\left( {\pi  - \arcsin \left( {\frac{{ - 3}}{{\sqrt {65} }}} \right) - \arcsin \frac{1}{{\sqrt {65} }}} \right) + n\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right.\]