Các kiến thức cần nhớ để giải được phương trình này:
- công thức cộng:
\[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\]
- Giá trị của các góc đặc biệt:
\[c{\rm{os}}\frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\]
- Nắm vững được cách giải phương trình bậc nhất sin và cos một cung. Các bạn có thể nghiên cứu lại dạng của phương trình này.
- Phương trình lượng giác đặc biệt:
- Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản của sin:
x = \alpha + k2\pi ;k \in Z \\
x = \pi - \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]
- Kỹ thuật nhận biết được phương trình được giải theo phương pháp đặt ẩn số phụ.
- Biến đổi toán học, tính toán chuẩn xác.
Đặt:
\[t = \sqrt 3 \sin x + \cos x - \sqrt 2 \]
Điều kiện:
\[t \ne 0\]
Ta suy ra:
\[\sqrt 3 \sin x + \cos x = t + \sqrt 2 \]
\[\sqrt 3 \sin x + \cos x = t + \sqrt 2 \]
Phương trình ban đầu trở thành:
\[\frac{2}{t} + 3\left( {t + \sqrt 2 } \right) + \sqrt 2 = 0\]
Quy đồng, bỏ mẫu và tính toán ta được:
\[2 + 3\left( {t + \sqrt 2 } \right)t + \sqrt 2 t = 0\]
Biến đổi đưa về phương trình bậc hai ẩn t:
\[3{t^2} + 4\sqrt 2 t + 2 = 0\]
Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm:
\[t = \frac{{ - 2\sqrt 2 - \sqrt 2 }}{3} = - \sqrt 2 \]
\[t = \frac{{ - 2\sqrt 2 - \sqrt 2 }}{3} = - \sqrt 2 \]
và:
\[t = \frac{{ - 2\sqrt 2 + \sqrt 2 }}{3} = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\]
Với:
\[t = - \sqrt 2 \]
\[t = - \sqrt 2 \]
thì ta có phương trình:
\[\sqrt 3 \sin x + \cos x - \sqrt 2 = - \sqrt 2 \]
hay:
\[\sqrt 3 \sin x + \cos x = 0\]
Đây là phương trình lượng giác bậc nhất sin và cos một cung.
Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình:
\[{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {1^2} = 4 \ge {0^2} = 0\]
Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình:
\[{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {1^2} = 4 \ge {0^2} = 0\]
Phương trình này có nghiệm/
Chia hai vế cho:
\[\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 4 = 2\]
ta được:
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = 0\]
Ta có:
\[c{\rm{os}}\frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\]
Thay vào phương trình và sắp xếp, ta được:
\[\sin x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{6} + \cos x.\sin \frac{\pi }{6} = 0\]
\[\sin x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{6} + \cos x.\sin \frac{\pi }{6} = 0\]
Áp dụng công thức cộng của hàm sin ta được phương trình lượng giác bậc nhất:
\[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0\]
\[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 0\]
Nghiệm của phương trình này:
\[x + \frac{\pi }{6} = k\pi ;k \in Z\]
Chuyển \[\frac{\pi }{6}\]
sang vế phải, ta được nghiệm:
\[x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ;k \in Z\]
Với:
\[t = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\]
ta có phương trình:
\[\sqrt 3 \sin x + \cos x - \sqrt 2 = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\]
Chuyển vế tính toán, ta được phương trình bậc nhất sin và cos một cung:
\[\sqrt 3 \sin x + \cos x = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\]
Dễ thấy phương trình này có nghiệm vì:
\[{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + 1 = 4 \ge {\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\]
Chia hai vế của phương trình cho 2, ta được:
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\]
Tương tự như trên, ta có:
\[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\]
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\]
Tương tự như trên, ta có:
\[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\]
Ta luôn có góc \[\alpha \]
sao cho:
\[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\]
\[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\]
Như vậy thì ta có phương trình lượng giác cơ bản:
\[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \]
Nghiệm của phương trình này:
\[\left[ \begin{array}{l}
x + \frac{\pi }{6} = \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
x + \frac{\pi }{6} = \pi - \alpha + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right.\]
\[\left[ \begin{array}{l}
x + \frac{\pi }{6} = \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
x + \frac{\pi }{6} = \pi - \alpha + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right.\]
Chuyển \[\frac{\pi }{6}\]
sang vế phải, ta được:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
x = \pi - \frac{\pi }{6} + \alpha + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right.\]
x = - \frac{\pi }{6} + \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
x = \pi - \frac{\pi }{6} + \alpha + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right.\]
Sau khi tính toán:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + \alpha + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right.\]
x = - \frac{\pi }{6} + \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + \alpha + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right.\]
Ta đặt:
\[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\]
điều đó có nghĩa là:
\[\alpha = \arcsin \frac{{\sqrt 2 }}{3}\]
Do đó, ta có nghiệm của phương trình:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + \arcsin \frac{2}{{\sqrt 3 }} + m2\pi ;m \in Z \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + \arcsin \frac{2}{{\sqrt 3 }} + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right.\]
x = - \frac{\pi }{6} + \arcsin \frac{2}{{\sqrt 3 }} + m2\pi ;m \in Z \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + \arcsin \frac{2}{{\sqrt 3 }} + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right.\]
Kết luận:
Vậy phương trình có các nghiệm:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ;k \in Z \\
x = - \frac{\pi }{6} + \arcsin \frac{2}{{\sqrt 3 }} + m2\pi ;m \in Z \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + \arcsin \frac{2}{{\sqrt 3 }} + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right.\]
x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ;k \in Z \\
x = - \frac{\pi }{6} + \arcsin \frac{2}{{\sqrt 3 }} + m2\pi ;m \in Z \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + \arcsin \frac{2}{{\sqrt 3 }} + n2\pi ;n \in Z \\
\end{array} \right.\]
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét
Cám ơn bạn đã góp ý cho Gia sư Khánh Hòa. Chúc bạn sức khỏe và thành công.