Giải phương trình \[\left( {\sin x + 1} \right)\left( {2\cos 2x - \sqrt 2 } \right) = 0\] (Bài 2c/SGKNC11/41)

Đây là phương trình tích dạng:

\[A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 A = 0 \\
 B = 0 \\
 \end{array} \right.\]

Do đó:

\[\begin{array}{l}
 \left( {\sin x + 1} \right)\left( {2\cos 2x - \sqrt 2 } \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \sin x + 1 = 0 \\
 2\cos 2x - \sqrt 2  = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Với phương trình:
\[\begin{array}{l}
 \sin x + 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
 \end{array}\]

Với phương trình:
\[2\cos 2x - \sqrt 2  = 0\]

Chuyển \[ - \sqrt 2 \]

sang vế phải và chia hai vế cho ta, ta được:

\[c{\rm{os}}2x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Nhận thấy:
\[c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

do đó, ta có phương trình lượng giác cơ bản:

\[c{\rm{os}}2x = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}\]

Nghiệm của phương trình này là:

\[\left[ \begin{array}{l}
 2x = \frac{\pi }{4} + m2\pi ;m \in Z \\
 2x =  - \frac{\pi }{4} + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Chia cho 2, ta được nghiệm:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{8} + m\pi ;m \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{8} + n\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[\left[ \begin{array}{l}
 x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{8} + m\pi ;m \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{8} + n\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right.\]