Giải phương trình \[c{\rm{os}}4x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 1 + c{\rm{os}}2x\]

Kiến thức cần nắm:

• Công thức nhân đôi:

\[c{\rm{os}}2x = 2{\cos ^2}x - 1\]

• Công thức hạ bậc:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} \Rightarrow 1 + c{\rm{os}}2x = 2{\cos ^2}x\]

Mức độ khó: Theo ý kiến đánh giả chủ quan của tác giả, bài này khá dễ.

Áp dụng công thức nhân đôi cho cos4x:
\[c{\rm{os}}4x = 2{\cos ^2}2x - 1\]

Và công thức hạ bậc đã nói ở trên, ta biến đổi phương trình như sau:

\[\begin{array}{l}
 2{\cos ^2}2x - 1 + \frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} - 1 - c{\rm{os}}2x = 0 \\
  \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2x - c{\rm{os}}2x - 3 = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 c{\rm{os}}2x = 1 \\
 c{\rm{os}}2x =  - \frac{3}{4} \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 2x = k2\pi ;k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 2x = \arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + m2\pi ;m \in Z \\
 2x =  - \arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = k\pi ;k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + m\pi ;m \in Z \\
 x =  - \frac{1}{2}\arccos \left( { - \frac{3}{4}} \right) + n\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]