Giải phương trình \[\tan 2x - 2\tan x + \sin 2x = 0\]

Kiến thức cần thiết:

• Công thức nhân đôi của hàm tan:

                           \[\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}\]

• Công thức nhân đôi của hàm sin:

                          \[\sin 2x = 2\sin x.\cos x\]

• công thức lượng giác cơ bản:

                           \[\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\]

• tính chất lũy thừa:

                           \[{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}\]

• điều kiện có nghĩa của hàm tan:

                          \[\tan x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z\]

Kỹ năng:

• Biến đổi công thức lượng giác thuần thục, linh hoạt.

Mức độ: Theo đánh giá của tác giả, đây là bài toán ở mức độ vừa phải, không khó.

Điều kiện có nghĩa của phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}
 \tan x \ne 0 \\
 \tan 2x \ne 0 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2};k \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Ta biến đổi phương trình như các bước sau:

Đầu tiên ta áp dụng công thức nhân đôi:

\[\tan 2x - 2\tan x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}} - 2\tan x\]

Sau đó đặt 2tanx chung ta ngoài, ta được:

\[2\tan x\left( {\frac{1}{{1 - {{\tan }^2}x}} - 1} \right)\]

Quy đồng:

\[2\tan x\left( {\frac{{1 - \left( {1 - {{\tan }^2}x} \right)}}{{1 - {{\tan }^2}x}}} \right) = 2\tan x\left( {\frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}} \right)\]

Áp dụng công thức của tan và sử dụng tính chất lũy thừa:

\[2\tan x.\left( {\frac{{{{\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)}^2}}}{{1 - {{\left( {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right)}^2}}}} \right) = 2\tan x.\frac{{\frac{{{{\sin }^2}x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}}}{{\frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - {{\sin }^2}x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}}}\]

\[ = 2\tan x.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}.\frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - {{\sin }^2}x}}\]

\[ = 2\tan x.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - {{\sin }^2}x}}\]

\[ = 2.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{c{\rm{os}}2x}}\]

Như vậy phương trình ban đầu được biến đổi về dạng:
\[2.\frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\frac{{{{\sin }^2}x}}{{c{\rm{os}}2x}} + 2\sin x.\cos x = 0\]

Đặt nhân tử chung 2.sinx ra ngoài, ta được:

\[2\sin x.\left( {\frac{{{{\sin }^2}x}}{{\cos x.c{\rm{os}}2x}} + \cos x} \right) = 0\]

Quy đồng bỏ mẫu, ta được:

\[2\sin x.\left( {{{\sin }^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x.c{\rm{os}}2x} \right) = 0\]

Áp dụng phương trình tích, ta được:
\[\left\{ \begin{array}{l}
 \sin x = 0 \\
 {\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x.\cos 2x = 0 \\
 \end{array} \right.\]

Với phương trình:

\[\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ;k \in Z\]

Với phương trình:
\[{\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x.\cos 2x = 0\]

Ta áp dụng công thức hạ bậc:

\[{\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\]

và:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\]

thay vào phương trình, ta được:
\[\frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{1 + \cos 2x}}{2}.c{\rm{os}}2x = 0\]

Nhân hai vế cho 2:

\[1 - c{\rm{os}}2x + \left( {1 + \cos 2x} \right).c{\rm{os}}2x = 0\]

Tính toán, ta được:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x + 1 = 0\]

Phương trình này vô nghiệm.

Kết hợp với điều kiện thì phương trình có một nghiệm:
\[x = k\pi ;k \in Z\]