- Công thức cộng của cos:
\[c{\rm{os}}\left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\]
- Biến đổi công thức cosx - sinx:
\[\begin{array}{l}
\cos x - \sin x = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos x - \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin x \\
= \sqrt 2 .\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin x} \right) \\
= \sqrt 2 .\left( {c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.\cos x - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.\sin x} \right) \\
= \sqrt 2 .c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \\
\end{array}\]
\cos x - \sin x = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos x - \sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin x \\
= \sqrt 2 .\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin x} \right) \\
= \sqrt 2 .\left( {c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.\cos x - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.\sin x} \right) \\
= \sqrt 2 .c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \\
\end{array}\]
Mức độ: Theo ý kiến chủ quan của tác giả, bài này ở mức độ dễ; chỉ là ở biến đổi thông thường.
Điều kiện có nghĩa của phương trình:
\[\begin{array}{l}
c{\rm{os}}2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
\Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2};k \in Z \\
\end{array}\]
Đầu tiên ta áp dụng công thức nhân đôi cho sin4x, ta được: sin4x = 2sin2x.cos2x .
Do đó:
\[VP = \frac{{5\sin 4x.\cos x}}{{2\cos 2x}} = \frac{{10.\sin 2x.c{\rm{os}}2x.\cos x}}{{2.c{\rm{os}}2x}} = 5.\sin 2x.\cos x\]
Do đó:
\[VP = \frac{{5\sin 4x.\cos x}}{{2\cos 2x}} = \frac{{10.\sin 2x.c{\rm{os}}2x.\cos x}}{{2.c{\rm{os}}2x}} = 5.\sin 2x.\cos x\]
\[ = 10\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\]
Do đó phương trình ban đầu được biến đổi về dạng:
\[6\sin x - 2{\cos ^3}x = 10\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\]
\[6\sin x - 2{\cos ^3}x = 10\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\]
Rút gọn cho 2 và chuyển
\[10\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\]
sang vế trái, ta được:
\[3\sin x - {\cos ^3}x - 5\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 0\]
tách:
\[ - 5\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = - 6\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + \sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\]
\[ - 5\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = - 6\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + \sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\]
ta được phương trình:
\[3\sin x - {\cos ^3}x - 6\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + \sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 0\]
Gom nhóm để đặt nhân tử chung:
\[\left( {3\sin x - 6\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right) + \left( { - {{\cos }^3}x + \sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right) = 0\]
Đặt nhân tử chung cho từng cụm:
Đặt nhân tử chung cho từng cụm:
\[3\sin x.\left( {1 - 2{{\cos }^2}x} \right) - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\left( {\cos x - \sin x} \right) = 0\]
Áp dụng công thức nhân đôi cho cos2x, ta có:
\[c{\rm{os}}2x = 2{\cos ^2}x - 1\]
\[c{\rm{os}}2x = 2{\cos ^2}x - 1\]
Do đó:
\[1 - 2{\cos ^2}x = - c{\rm{os}}2x = - \left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = - \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)\]
Thay vào phương trình, ta được:
\[\begin{array}{l}
- 3\sin x.\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right) - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\left( {\cos x - \sin x} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)\left[ { - 3\sin x.\left( {\cos x + \sin x} \right) - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right] = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x - \sin x = 0 \\
- 3\sin x.\left( {\cos x + \sin x} \right) - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
- 3\sin x.\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right) - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\left( {\cos x - \sin x} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left( {\cos x - \sin x} \right)\left[ { - 3\sin x.\left( {\cos x + \sin x} \right) - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x} \right] = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x - \sin x = 0 \\
- 3\sin x.\left( {\cos x + \sin x} \right) - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 0 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
Với phương trình:
\[\cos x - \sin x = 0\]
\[\cos x - \sin x = 0\]
ta có:
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \sqrt 2 .c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z \\
\end{array}\]
\Leftrightarrow \sqrt 2 .c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z \\
\end{array}\]
Với phương trình:
\[ - 3\sin x.\left( {\cos x + \sin x} \right) - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 0\]
Ta nhân vào:
\[ - 3\sin x.\cos x - 3{\sin ^2}x - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 0\]
sử dụng công thức nhân đôi của sin2x, công thức hạ bậc:
\[\begin{array}{l}
\sin 2x = 2\sin x.\cos x \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{1}{2}.\sin 2x \\
{\sin ^2}x = \frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2} \\
c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} \\
\end{array}\]
\sin 2x = 2\sin x.\cos x \Rightarrow \sin x.\cos x = \frac{1}{2}.\sin 2x \\
{\sin ^2}x = \frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2} \\
c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = \frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} \\
\end{array}\]
thay vào phương trình ta được:
\[ - \frac{3}{2}\sin 2x - 3\frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2} - \frac{{1 + c{\rm{os}}2x}}{2} = 0\]
Nhân hai vế cho 2 và tính toán, chuyển vế ta được:
\[3\sin 2x - 2\cos 2x = - 4\]
Đây là phương trình bậc nhất sin và cos một cung (cung 2x). Dễ thấy phương trình này vô nghiệm vì:
\[{3^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 13 < 16 = {\left( { - 4} \right)^2}\]
\[{3^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 13 < 16 = {\left( { - 4} \right)^2}\]
So với điều kiện phương trình vô nghiệm.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét
Cám ơn bạn đã góp ý cho Gia sư Khánh Hòa. Chúc bạn sức khỏe và thành công.