Giải phương trình \[\sqrt {\tan x + \sin x} + \sqrt {\tan x - \sin x} = \sqrt 3 .\sqrt {\tan x} \]

Kiến thức cần nắm:

• Phương trình dạng:

\[\sqrt A  + \sqrt B  = \sqrt C  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 A \ge 0 \\
 B \ge 0 \\
 {\left( {\sqrt A  + \sqrt B } \right)^2} = C \\
 \end{array} \right.\]

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả, bài này khó ở phần điều kiện. Đối với các bạn đặt điều kiện ngay mà không biến đổi biểu thức cần đặt điều kiện thì sẽ gặp rắc rối.

Ta có:
\[\begin{array}{l}
 \tan x + \sin x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \sin x = \sin x.\left( {\frac{1}{{\cos x}} + 1} \right) = \sin x.\frac{{1 + \cos x}}{{\cos x}} \\
 \tan x - \sin x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \sin x = \sin x.\left( {\frac{1}{{\cos x}} - 1} \right) = \sin x.\frac{{1 - \cos x}}{{\cos x}} \\
 \end{array}\]

và \[1 + \cos x \ge 0;1 - \cos x \ge 0\]

Do đó điều kiện của phương trình là:

\[\frac{{\sin x}}{{\cos x}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 k2\pi  \le x < \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
 \pi  + k2\pi  \le x < \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi ;k \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Bình phương 2 vế phương trình:
\[\begin{array}{l}
 \tan x + \sin x + 2\sqrt {{{\tan }^2}x - {{\sin }^2}x}  + \tan x - \sin x = 3\tan x \\
  \Leftrightarrow 2\sqrt {{{\tan }^2}x - {{\sin }^2}x}  = \tan x \Leftrightarrow 4\left( {{{\tan }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = {\tan ^2}x \\
  \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 4{\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow 3\frac{{{{\sin }^2}x}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} - 4{\sin ^2}x = 0 \\
  \Leftrightarrow {\sin ^2}x.\left( {\frac{3}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \sin x = 0 \\
 3 - 4{\cos ^2}x = 0 \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = k\pi ;k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\
 \cos x =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = k\pi ;k \in Z \\
 \cos x = c{\rm{os}}\frac{\pi }{6} \\
 \cos x =  - c{\rm{os}}\frac{\pi }{6} = c{\rm{os}}\left( {\pi  - \frac{\pi }{6}} \right) = c{\rm{os}}\frac{{5\pi }}{6} \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = k\pi ;k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{6} + m2\pi ;m \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{6} + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{{5\pi }}{6} + p2\pi ;p \in Z \\
 x =  - \frac{{5\pi }}{6} + q2\pi ;q \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

so với điều kiện, phương trình có ba nghiệm:
\[\left[ \begin{array}{l}
 x = k\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{6} + m2\pi ;m \in Z \\
 x =  - \frac{{5\pi }}{6} + q2\pi ;q \in Z \\
 \end{array} \right.\]