Giải phương trình \[\begin{array}{l} \left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 3\cos x + 2} \right)\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 9\cos x + 18} \right) \\ = 8{\cos ^2}x \\ \end{array}\]

Kiến thức cần nắm:

• Các kiến thức cần nhớ về tam thức bậc hai: Tam thức bậc hai
• Các dạng phương trình đặt ẩn số phụ thông dụng (dạng số 2): Một số dạng phương trình thông dụng giải bằng phương pháp đặt ẩn số phụ

Mức độ khó: Bài này ở độ khó tương đối nếu các bạn chưa từng gặp qua dạng này.

Chúng ta có nhận xét:
Dễ thấy phương trình bậc hai \[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 3\cos x + 2 = 0\]
 ẩn cosx có hai nghiệm cosx = 1 và cosx = 2. Theo kiến thức về tam thức bậc hai, ta được:
\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 3\cos x + 2 = \left( {\cos x - 1} \right)\left( {\cos x - 2} \right)\]

Tương tự: \[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 9\cos x + 18 = \left( {\cos x - 3} \right)\left( {\cos x - 6} \right)\]

Do đó phương trình ban đầu được biến đổi thành:

\[\left( {\cos x - 1} \right)\left( {\cos x - 2} \right)\left( {\cos x - 3} \right)\left( {\cos x - 6} \right) = 8{\cos ^2}x\]
Sắp xếp lại:
\[\left( {\cos x - 1} \right)\left( {\cos x - 6} \right)\left( {\cos x - 2} \right)\left( {\cos x - 3} \right) = 8{\cos ^2}x\]

Nhân \[\left( {\cos x - 1} \right)\left( {\cos x - 6} \right)\]

với \[\left( {\cos x - 2} \right)\left( {\cos x - 3} \right)\]

ta được:

\[\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 7\cos x + 6} \right)\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 5\cos x + 6} \right) = 8{\cos ^2}x\]
Dễ thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình. Do đó, chia hai vế của phương trình cho \[{\cos ^2}x\]

ta được:

\[\begin{array}{l}
 \frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 7\cos x + 6}}{{\cos x}}.\frac{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 5\cos x + 6}}{{\cos x}} = 8 \\
  \Leftrightarrow \left( {\cos x + \frac{6}{{\cos x}} - 7} \right).\left( {\cos x + \frac{6}{{\cos x}} - 5} \right) = 8 \\
 \end{array}\]

Ta đặt:

\[t = \cos x + \frac{6}{{\cos x}} - 7 \Rightarrow \cos x + \frac{6}{{\cos x}} - 5 = t + 2\]

Phương trình được đưa về dạng:

\[\begin{array}{l}
 t = \cos x + \frac{6}{{\cos x}} - 7 \Rightarrow \cos x + \frac{6}{{\cos x}} - 5 = t + 2 \\
 t.\left( {t + 2} \right) = 8 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 t = 2 \\
 t =  - 4 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Với t = 2, ta có phương trình:

\[\begin{array}{l}
 \cos x + \frac{6}{{\cos x}} - 7 = 2 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 9\cos x + 6 = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \cos x = \frac{{9 - \sqrt {57} }}{2} \\
 \cos x = \frac{{9 + \sqrt {57} }}{2}(l) \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \arccos \frac{{9 - \sqrt {57} }}{2} + k2\pi ;k \in Z \\
 x =  - \arccos \frac{{9 - \sqrt {57} }}{2} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Với t = -4, ta có phương trình:
\[\cos x + \frac{6}{{\cos x}} - 7 =  - 4 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 3\cos x + 6 = 0\]

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy phương trình có hai nghiệm:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \arccos \frac{{9 - \sqrt {57} }}{2} + k2\pi ;k \in Z \\
 x =  - \arccos \frac{{9 - \sqrt {57} }}{2} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]