Giải phương trình \[2\cos \left( {2x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - 3 = 0\]

Kiến thức cần nắm:

• Công thức nhân đôi của cos:

\[c{\rm{os}}2x = 2{\cos ^2}x - 1\]

• Công thức hơn kém nhau:

\[\frac{\pi }{2}\]

\[c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) =  - \sin x\]

•  Công thức lượng giác cơ bản:

\[{\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 1 \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x\]

• Công thức cos đối:

\[c{\rm{os}}\left( { - x} \right) = \cos x\]

Mức độ khó: Bài này không khó nhưng lắc léo, đỏi hỏi người giải nhìn ra mối quan hệ giữa các góc và áp dụng công thức lượng giác linh hoạt.

Ta có:
\[\begin{array}{l}
 c{\rm{os}}\left( {2x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) = c{\rm{os}}2.\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 2{\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) - 1 \\
  = 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{2} + x - \frac{\pi }{6}} \right) - 1 \\
  = 2{\left[ { - \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right]^2} - 1 \\
  = 2{\sin ^2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - 1 \\
  = 2\left( {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right) - 1 \\
  = 1 - 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \\
 \end{array}\]

và:
\[c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = c{\rm{os}}\left[ { - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right] = c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\]

Do đó phương trình ban đầu được biến đổi như sau:

\[\begin{array}{l}
 2\left[ {1 - 2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)} \right] + 4\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - 3 = 0 \\
  \Leftrightarrow  - 4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 4\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow 4c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - 4\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow {\left[ {2\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - 1} \right]^2} = 0 \\
  \Leftrightarrow 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) - 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3} + k2\pi ;k \in Z \\
 x - \frac{\pi }{6} =  - \frac{\pi }{3} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{6} + 2m\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm:
\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{6} + 2m\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]