Giải phương trình \[\sqrt 3 {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + 1 = 0\] (Bài 28c/SGKNC11/41)

\[\sqrt 3 {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + 1 = 0\]

(Bài 28c/SGKNC11/41)

Đây là phương trình bậc hai hàm số tan.
Đặt t = tanx.
Ta biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t:
\[\sqrt 3 {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right){\mathop{\rm t}\nolimits}  + 1 = 0\]

Dễ thấy phương trình này có hai nghiệm phân biệt (a + b + c =  0):

t = 1

và:

\[t = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

Với t = 1: Ta có phương trình lượng giác đặc biệt của tan:
                    tanx = 1.
Phương trình này có nghiệm:
\[x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z\]

Với:

\[t = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

Ta có phương trình lượng giác bậc nhất của tan:

\[\tan x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

Ta có:

\[\tan \frac{\pi }{6} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

 Ta có phương trình lượng giác cơ bản của tan:
\[\tan x = \tan \frac{\pi }{6}\]

Ôn lại:

Phương trình lượng giác cơ bản của tan có nghiệm như sau:

\[\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi ;k \in Z\]

Do đó của của phương trình:

\[\tan x = \tan \frac{\pi }{6}\]

là:

\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi ;k \in Z\]

Vậy phương trình có hai nghiệm:

\[x = \frac{\pi }{6} + k\pi ;k \in Z\]

và:
\[x = \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z\]