1. Phương trình dạng:
\[a.\sin x + b = 0\]
\[0.\sin x + b = 0\]
- Nếu b = 0 thì phương trình tiếp tục suy biến trở thành:
\[0.\sin x + 0 = 0\]
Với phương trình này dễ thấy với mọi số thực x đều là nghiệm của phương trình.
Khi a = 0 và b = 0 thì tập nghiệm của phương trình là R.
Khi a = 0 và b = 0 thì tập nghiệm của phương trình là R.
- Nếu \[b \ne 0\]
thì ta thấy không có số thực x nào thỏa mãn được đẳng thức:
\[0.\sin x + b = 0\].
Do đó khi a = 0 và \[b \ne 0\] thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu
thì phương trình được biến đổi về dạng:
\[\sin x = - \frac{b}{a}\]
Đến đây thì ta có các trường hợp sau:
- Nếu
\[ - 1 \le - \frac{b}{a} \le 1\]
thì phương trình có nghiệm. Khi đó tồn tại số \[\alpha \]
sao cho
\[\sin \alpha = - \frac{b}{a}\]
Do đó ta có được phương trình lượng giác cơ bản:
\[\sin x = \sin \alpha \]
Đây là phương trình lượng giác cơ bản của sin. Nghiệm của phương trình này như sau:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k2\pi ;k \in Z \\
x = \pi - \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]
x = \alpha + k2\pi ;k \in Z \\
x = \pi - \alpha + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]
Hay:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = \arcsin \left( { - \frac{b}{a}} \right) + k2\pi ;k \in Z \\
x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{b}{a}} \right) + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]
- \frac{b}{a} > 1 \\
- \frac{b}{a} < - 1 \\
\end{array} \right.\]
\[\left[ \begin{array}{l}
x = \arcsin \left( { - \frac{b}{a}} \right) + k2\pi ;k \in Z \\
x = \pi - \arcsin \left( { - \frac{b}{a}} \right) + m2\pi ;m \in Z \\
\end{array} \right.\]
- Nếu
- \frac{b}{a} > 1 \\
- \frac{b}{a} < - 1 \\
\end{array} \right.\]
thì phương trình vô nghiệm.