Giải phương trình \[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + \sin x + 1 = 0\] (Bài 28b/SGKNC11/41)

Phương trình:
\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + \sin x + 1 = 0\]

(Bài 28b/SGKNC11/41)

Nhìn vào phương trình này chúng ta thấy rõ ràng đây không phải là phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác. Tuy nhiên, chúng ta dễ thấy chúng ta có thể biến đổi để đưa phương trình về dạng bậc hai theo hàm sin bằng biến đổi cơ bản sau:
Chúng ta có công thức:
\[{\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 1\]

Từ đó, ta suy ra:

\[c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x = 1 - {\sin ^2}x\]

Như vậy phương trình ban đầu được biến đổi thành:

\[1 - {\sin ^2}x + \sin x + 1 = 0\]

Chuyển toàn bộ qua vế phải và tính toán, ta được phương trình bậc hai theo hàm sin như sau:

\[{\sin ^2}x - \sin x - 2 = 0\]

Chúng ta đặt t = sinx.

Điều kiện của t:

\[ - 1 \le t \le 1\]

Phương trình bậc hai theo hàm sin được đưa về phương trình bậc hai theo ẩn số phụ t:

\[{t^2} - t - 2 = 0\]

Phương trình này có hệ số a = 1; b = -1; c = -2. Chúng ta dễ nhận thấy a - b + c = 1 - (-1) + (-2) = 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt như sau:

\[{t_1} =  - 1\]

và:

\[{t_2} = 2\]

Với:
\[{t_1} =  - 1\]

Ta có phương trình lượng giác đặc biệt:

\[\sin x =  - 1\]

Nghiệm của phương trình này là:

\[x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z\]

Với:

\[{t_2} = 2 > 1\]

Loại nghiệm này vì điều kiện của t nhỏ hơn 1.
Vậy nghiệm của phương trình này là:
\[x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z\]