Giải phương trình \[\sqrt 3 \sin x - \cos x + \sqrt 2 = 0\]

Phương trình: \[\sqrt 3 \sin x - \cos x + \sqrt 2  = 0\]
Nhìn vào phương trình chúng ta thấy, đây là dạng phương trình bậc nhất sin và cos một cung. Nếu các bạn chưa được học lý thuyết giải phương trình dạng này, các bạn nên nghiên cứu lý thuyết ở đây:
http://giasukhanhhoa.blogspot.com/2013/08/giai-phuong-trinh.html
Phương trình được biến đổi về đúng dạng phương trình bậc nhất sin và cos một cung:
\[\sqrt 3 \sin x - \cos x =  - \sqrt 2 \]
Đầu tiên chúng ta kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình:
\[{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 4 \ge {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} = 2\]

Phương trình trên có nghiệm.
Chúng ta chia hai vế của phương trình trên cho 2, ta được:
\[\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Dễ thấy, \[c{\rm{os}}\frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

và: \[\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\]

Phương trình được biến đổi về: \[\sin x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{6} - \cos x.\sin \frac{\pi }{6} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Áp dụng công thức cộng ta được: \[\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Ta nhận thấy: \[\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \sin \frac{\pi }{4} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

Do đó, ta có phương trình: \[\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\]
Áp dụng phương trình lượng giác cơ bản của hàm sin, ta có:
\[\left[ \begin{array}{l}
 x - \frac{\pi }{6} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in Z \\
 x - \frac{\pi }{6} = \pi  - \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Chuyển vế tính toán ta được:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ;k \in Z \\
 x = \frac{{17\pi }}{{12}} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]