Giải phương trình \[3\sin x + 1 = 4{\sin ^3}x + \sqrt 3 c{\rm{os}}3x\]

Phương trình này bản thân nó không phải là dạng phương trình bậc nhất sin và cos một cung. Tuy nhiên chúng ta có thể biến đổi nó về dạng phương trình bậc nhất sin và cos một cung.
Chúng ta dễ thấy công thức nhân ba của hàm sin như sau:
\[\sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x\]
Do đó, chúng ta biến đổi phương trình đã cho như sau:
\[3\sin x - 4{\sin ^3}x - \sqrt 3 \cos 3x =  - 1\]

Áp dụng công thức nhân ba cho hàm sin ta được:

\[\sin 3x - \sqrt 3 \cos 3x =  - 1\]

Đến đây chúng ta đã thấy xuất hiện dạng phương trình bậc nhất sin và cos một cung (cung 3x). Chúng ta cần kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình:
\[{1^2} + {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} = 4 \ge {\left( { - 1} \right)^2} = 1\]

Do đó phương trình đã cho có nghiệm. Chia hai vế của phương trình cho 2, ta được:

\[\frac{1}{2}\sin 3x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 3x =  - \frac{1}{2}\]

Ta thấy: \[c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} = \frac{1}{2};\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

Phương trình được biến đổi về dạng:

\[\sin 3x.c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} - \cos 3x.\sin \frac{\pi }{3} =  - \frac{1}{2}\]

Áp dụng công thức cộng cho hàm sin:
\[\sin \left( {\alpha  - \beta } \right) = \sin \alpha .c{\rm{os}}\beta  - c{\rm{os}}\alpha .\sin \beta \]

ta được:

\[\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{1}{2}\]

Ta có:

\[\sin \left( { - \alpha } \right) =  - \sin \alpha \]

Nhận thấy:

\[\sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) =  - \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) =  - \frac{1}{2}\]

Do đó, ta có phương trình:

\[\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\]

Áp dụng phương trình lượng giác cơ bản cho hàm sin:
\[\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \alpha  + k2\pi ;k \in Z \\
 x = \pi  - \alpha  + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]

Ta được:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3};k \in Z \\
 x = \frac{\pi }{2} + m\frac{{2\pi }}{3};m \in Z \\
 \end{array} \right.\]