Giải phương trình \[\sin x + \sin 3x + 4{\cos ^3}x = 0\]

Kiến thức cần nắm:

• Công thức nhân ba của hàm sin:

\[\sin 3x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x\]

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả bài này khá dễ.

Ta có biến đổi sau:

\[\begin{array}{l}
 \sin x + \sin 3x = \sin x + 3\sin x - 4{\sin ^3}x = 4\sin x - 4{\sin ^3}x \\
  = 4\sin x.\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) \\
  = 4\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\
 \end{array}\]

Do đó phương trình ban đầu được đưa về dạng:
\[\begin{array}{l}
 4\sin x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 4{\cos ^3}x = 0 \\
  \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x.\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \cos x = 0 \\
 \sin x + \cos x = 0 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 x + \frac{\pi }{4} = m\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{4} + m\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Vậy phương trình có hai nghiệm:

\[\left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{4} + m\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right.\]