Giải phương trình \[c{\rm{os}}7x + \sin 8x = c{\rm{os}}3x - \sin 2x\]

Kiến thức cơ bản:

• Công thức tích thành tổng:

\[\begin{array}{l}
 \sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}c{\rm{os}}\frac{{a - b}}{2} \\
 \cos a - \cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}{\rm{sin}}\frac{{a - b}}{2} \\
 \end{array}\]

• Công thức phụ chéo:

\[\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\]

Mức độ khó: Theo đánh giả chủ quan của tác giả đây là bài toán khá dễ.

Ta chuyển vế đưa phương trình về dạng:
\[\begin{array}{l}
 c{\rm{os}}7x - c{\rm{os}}3x + \sin 8x + \sin 2x = 0 \\
  \Leftrightarrow  - 2\sin \frac{{7x + 3x}}{2}.\sin \frac{{7x - 3x}}{2} + 2\sin \frac{{8x + 2x}}{2}.c{\rm{os}}\frac{{8x - 2x}}{2} = 0 \\
  \Leftrightarrow  - 2\sin 5x.\sin 2x + 2\sin 5x.c{\rm{os}}3x = 0 \\
  \Leftrightarrow 2\sin 5x.\left( {c{\rm{os}}3x - \sin 2x} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \sin 5x = 0 \\
 c{\rm{os}}3x - \sin 2x = 0 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 5x = k\pi ;k \in Z \\
 c{\rm{os}}3x = \sin 2x \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = k\frac{\pi }{5};k \in Z \\
 c{\rm{os}}3x = c{\rm{os}}\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = k\frac{\pi }{5};k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 3x = \frac{\pi }{2} - 2x + m2\pi ;m \in Z \\
 3x =  - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = k\frac{\pi }{5};k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 5x = \frac{\pi }{2} + m2\pi ;m \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{2} + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = k\frac{\pi }{5};k \in Z \\
 \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{{10}} + m\frac{{2\pi }}{5};m \in Z \\
 x =  - \frac{\pi }{2} + n2\pi ;n \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]