Giải phương trình \[{\sin ^2}2x - {\sin ^2}8x = 8\cos \left( {\frac{{15\pi }}{2} + 10x} \right)\]

Kiến thức cần nắm:

• Tính tuần hoàn của hàm cos

\[c{\rm{os}}\left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos x\]

• Công thức cộng của hàm cos:

\[c{\rm{os}}\left( {a \pm b} \right) = \cos a.\cos b \mp \sin a.\sin b\]

• Công thức hạ bậc của hàm sin:

\[{\sin ^2}x = \frac{{1 - c{\rm{os}}2x}}{2}\]

• Công thức tích thành tổng:

\[\cos a - \cos b =  - 2{\rm{sin}}\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right){\rm{sin}}\left( {\frac{{a - b}}{2}} \right)\]

Kỹ năng:

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả, bài này không khó lắm.

Ta có biến đổi sau:
\[\begin{array}{l}
 c{\rm{os}}\left( {\frac{{15\pi }}{2} + 10x} \right) = c{\rm{os}}\left( {\frac{{16\pi }}{2} - \frac{\pi }{2} + 10x} \right) = c{\rm{os}}\left( {8\pi  - \frac{\pi }{2} + 10x} \right) \\
  = c{\rm{os}}\left( { - \frac{\pi }{2} + 10x} \right) \\
  = \sin 10x \\
 \end{array}\]

và:
\[\begin{array}{l}
 {\sin ^2}2x - {\sin ^2}8x = \frac{{1 - c{\rm{os}}4x}}{2} - \frac{{1 - c{\rm{os16}}x}}{2} = \frac{1}{2}\left( {c{\rm{os}}16x - c{\rm{os4x}}} \right) \\
  = \frac{1}{2}.\left( { - 2\sin \frac{{16x + 4x}}{2}.\sin \frac{{16x - 4x}}{2}} \right) \\
  =  - \sin 10x.\sin 6x \\
 \end{array}\]

Phương trình ban đầu được biến đổi về dạng:
\[\begin{array}{l}
  - \sin 10x.\sin 6x = 8\sin 10x \\
  \Leftrightarrow \sin 10x + \sin 10x.\sin 6x = 0 \\
  \Leftrightarrow \sin 10x.\left( {\sin 6x + 8} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \sin 10x = 0{\rm{  (do sin6x + 8}} \ge {\rm{7)}} \\
  \Leftrightarrow 10x{\rm{ = k}}\pi {\rm{;k}} \in {\rm{Z}} \\
  \Leftrightarrow {\rm{x = k}}\frac{\pi }{{10}}{\rm{;k}} \in {\rm{Z}} \\
 \end{array}\]

Vậy phương trình có nghiệm:

\[{\rm{x = k}}\frac{\pi }{{10}}{\rm{;k}} \in {\rm{Z}}\]