Giải phương trình \[\sin x\sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}{\sin ^2}x + 1 = 2{\cos ^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\]

Kiến thức cần nắm:

• Công thức nhân đôi:

                           \[\begin{array}{l}
 c{\rm{os}}2x = 2{\cos ^2}x - 1 \\
 \sin 2x = 2\sin x.\cos x \\
 \end{array}\]

• Sử dụng được sơ đồ Horner.
• Công thức cộng của hàm cos:

\[c{\rm{os}}\left( {a \pm b} \right) = \cos a.\cos b \mp \sin a.\sin b\]

Kỹ năng:

• Kỹ năng gộp nghiệm phương trình lượng giác.

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả thì bài này không khó.

Chuyển vế phải của phương trình sang vế trái, ta được:
\[\sin x\sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}{\sin ^2}x + 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0\]
Áp dụng công thức nhân đôi:
\[\begin{array}{l}
 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \left( {2{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) - 1} \right) \\
  =  - c{\rm{os}}2.\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) \\
  =  - c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) \\
  =  - \sin x \\
 \end{array}\]

Do đó phương trình ban đầu được đưa về dạng:
\[\sin x\sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}{\sin ^2}x - \sin x = 0\]

Đặt nhân tử chung sinx, ta được:

\[\sin x.\left( {\sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}.\sin x - 1} \right) = 0\]

Áp dụng phương trình tích:
\[\left[ \begin{array}{l}
 \sin x = 0 \\
 \sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}.\sin x - 1 = 0 \\
 \end{array} \right.\]

Với phương trình:

\[\sin x = 0\]

thì nghiệm là:

\[x = k\pi ;k \in Z\]

Với phương trình:

\[\sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}.\sin x - 1 = 0\]

ta áp dụng công thức nhân đôi:

\[\sin x = \sin 2.\frac{x}{2} = 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}\]

Do đó phương trình được biến đổi:
\[\begin{array}{l}
 \sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}.2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2} - 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow \sin \frac{x}{2} - 2{\cos ^2}\frac{x}{2}.\sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow \sin \frac{x}{2} - 2\left( {1 - {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)\sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow 2{\sin ^3}\frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \\
 \end{array}\]

Dễ thấy phương trình cuối cùng có nghiệm:

\[\sin \frac{x}{2} = 1\]

Dùng lược đồ Hornr, biến đổi phương trình về dạng:

\[\left( {\sin \frac{x}{2} - 1} \right)\left( {2{{\sin }^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2} + 1} \right) = 0\]

Ta dễ thấy phương trình:
\[2{\sin ^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2} + 1 = 0\]

vô nghiệm

Do đó, phương trình chỉ có nghiệm:

\[\begin{array}{l}
  \Leftrightarrow \sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \\
  \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + m2\pi ;m \in Z \\
  \Leftrightarrow x = \pi  + m4\pi ;m \in Z \\
 \end{array}\]

Gộp nghiệm, ta thấy phương trình có một nghiệm:
\[x = k\pi ;k \in Z\]