Giải phương trình $$\sin x\sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}{\sin ^2}x + 1 = 2{\cos ^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)$$

Kiến thức cần nắm:

• Công thức nhân đôi:

                            $$\begin{array}{l}  c{\rm{os}}2x = 2{\cos ^2}x - 1 \\  \sin 2x = 2\sin x.\cos x \\  \end{array}$$

• Sử dụng được sơ đồ Horner.
• Công thức cộng của hàm cos:

$$c{\rm{os}}\left( {a \pm b} \right) = \cos a.\cos b \mp \sin a.\sin b$$

Kỹ năng:

• Kỹ năng gộp nghiệm phương trình lượng giác.

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả thì bài này không khó.

Chuyển vế phải của phương trình sang vế trái, ta được:
$$\sin x\sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}{\sin ^2}x + 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = 0$$
Áp dụng công thức nhân đôi:
$$\begin{array}{l}  1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \left( {2{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) - 1} \right) \\   =  - c{\rm{os}}2.\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) \\   =  - c{\rm{os}}\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) \\   =  - \sin x \\  \end{array}$$

Do đó phương trình ban đầu được đưa về dạng:
$$\sin x\sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}{\sin ^2}x - \sin x = 0$$

Đặt nhân tử chung sinx, ta được:

$$\sin x.\left( {\sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}.\sin x - 1} \right) = 0$$

Áp dụng phương trình tích:
$$\left[ \begin{array}{l}  \sin x = 0 \\  \sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}.\sin x - 1 = 0 \\  \end{array} \right.$$

Với phương trình:

$$\sin x = 0$$

thì nghiệm là:

$$x = k\pi ;k \in Z$$

Với phương trình:

$$\sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}.\sin x - 1 = 0$$

ta áp dụng công thức nhân đôi:

$$\sin x = \sin 2.\frac{x}{2} = 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}$$

Do đó phương trình được biến đổi:
$$\begin{array}{l}  \sin \frac{x}{2} - c{\rm{os}}\frac{x}{2}.2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2} - 1 = 0 \\   \Leftrightarrow \sin \frac{x}{2} - 2{\cos ^2}\frac{x}{2}.\sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \\   \Leftrightarrow \sin \frac{x}{2} - 2\left( {1 - {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)\sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \\   \Leftrightarrow 2{\sin ^3}\frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \\  \end{array}$$

Dễ thấy phương trình cuối cùng có nghiệm:

$$\sin \frac{x}{2} = 1$$

Dùng lược đồ Hornr, biến đổi phương trình về dạng:

$$\left( {\sin \frac{x}{2} - 1} \right)\left( {2{{\sin }^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2} + 1} \right) = 0$$

Ta dễ thấy phương trình:
$$2{\sin ^2}\frac{x}{2} + 2\sin \frac{x}{2} + 1 = 0$$

vô nghiệm

Do đó, phương trình chỉ có nghiệm:

$$\begin{array}{l}   \Leftrightarrow \sin \frac{x}{2} - 1 = 0 \\   \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + m2\pi ;m \in Z \\   \Leftrightarrow x = \pi  + m4\pi ;m \in Z \\  \end{array}$$

Gộp nghiệm, ta thấy phương trình có một nghiệm:
$$x = k\pi ;k \in Z$$