Giải phương trình \[{\left( {\sin x - \cos x} \right)^4} - 6\sin x.\cos x - 1 = 0\]

Kiến thức cơ bản:

• Giải phương trình đối xứng loại 1.

Kỹ năng cần có:

• Kỹ năng gộp nghiệm trong phương trình lượng giác.

Mức độ khó: Theo đánh giá chủ quan của tác giả, đây là một bài toán khá dễ, bởi có phương pháp giải , không đòi hỏi kỹ năng biến đổi phức tạp.

Để giải được bài toán này các bạn cần có kỹ năng giải phương trình đối xứng loại 1. Nếu các bạn quên hay chưa được học, các bạn xem lại tại đây:
                                    Cách giải phương trình đối xứng loại 1

Đặt:
\[t = \sin x - \cos x\]

Điều kiện của t:

\[ - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 \]

Suy ra:

\[\sin x.\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{2}\]

Thay vào phương trình, ta được phương trình trùng phương của ẩn số t:
\[\begin{array}{l}
 {t^4} - 6.\frac{{1 - {t^2}}}{2} - 1 = 0 \\
 {t^4} + 3{t^2} - 4 = 0 \\
 \end{array}\]

Dễ thấy phương trình này có nghiệm:
\[\left[ \begin{array}{l}
 {t^2} = 1 \\
 {t^2} =  - 4(l) \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 t = 1 \\
 t =  - 1 \\
 \end{array} \right.\]

Với t = 1, ta giải phương trình:
\[\begin{array}{l}
 \sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \\
  \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sin \frac{\pi }{4} \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in Z \\
 x - \frac{\pi }{4} = \pi  - \frac{\pi }{4} + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\
 x = \pi  + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Với t = -1, ta tiếp tục giải phương trình:
\[\begin{array}{l}
 \sin x - \cos x =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \\
  \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} =  - \sin \frac{\pi }{4} = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in Z \\
 x - \frac{\pi }{4} = \pi  - \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + m2\pi ;m \in Z \\
 \end{array} \right. \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = n2\pi ;n \in Z \\
 x = \frac{{3\pi }}{2} + p2\pi ;p \in Z \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Như vậy phương trình có bốn nghiệm. Tuy nhiên ta có thể gộp chung bốn nghiệm này thành một nghiệm như sau:
\[x = k\frac{\pi }{2};k \in Z\]