Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 2. Chứng minh: \[xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 2\]

Kiến thức cần có:

• Bất đẳng thức Cauchy.
• Tính chất bất đẳng thức.

Mức độ khó: theo đánh giá của tác giả thì bài toán này tương đối dễ.

Nếu các bạn cần ôn lại kiến thức về bất đẳng thức Cauchy, xin hãy đọc lại bài này: Bất đẳng thức Cauchy

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng:
\[ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\]

Ta có:
\[xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = \frac{1}{2}.2xy.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\]

Do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy với:

\[a = 2xy;b = {x^2} + {y^2}\]

ta được:

\[2xy.\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le \frac{{{{\left( {2xy + {x^2} + {y^2}} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\]

Theo giả thiết x + y = 2.

Cho nên:
\[xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {{2^2}} \right)}^2}}}{4} = 2\]