Giải phương trình \[\begin{array}{l} {\left( {{{\sin }^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)^2} + {\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}} \right)^2} \\ = \frac{{25}}{2} \\ \end{array}\]

Kiến thức cần nắm:

• Biến đổi thông dụng:

\[{\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\]

Nếu các bạn quên biến đổi này thì có thể xem lại

tại đây

• Hằng đẳng thức đáng nhớ:

\[{\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]

Mức độ khó: Bài này ở mức độ vừa phải. Tuy nhiên phải áp dụng các biến đổi thông dụng trong lượng giác.
Điều kiện có nghiệm của phương trình:
\[x \ne k\frac{\pi }{2};k \in Z\]
Khai triển hằng đẳng thức:
\[\begin{array}{l}
 {\left( {{{\sin }^2}x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)^2} = {\sin ^4}x + 2 + \frac{1}{{{{\sin }^4}x}} \\
 {\left( {c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}} \right)^2} = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x + 2 + \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x}} \\
 \end{array}\]

Như vậy vế trái được biến đổi thành:
\[{\sin ^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x + \frac{1}{{{{\sin }^4}x}} + \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x}} + 4\]

Mặt khác:

\[\frac{1}{{{{\sin }^4}x}} + \frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x}} = \frac{{{{\sin }^4}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x}}{{{{\sin }^4}x.c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}x}} = \frac{{1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}{{\frac{1}{{16}}{{\sin }^4}2x}}\]

Do đó phương trình ban đầu:
\[1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x + \frac{{1 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}}{{\frac{1}{{16}}{{\sin }^4}2x}} + 4 = \frac{{25}}{2}\]

Đặt:
\[t = {\sin ^2}2x\]

Điều kiện của t:

\[0 \le t \le 1\]

Thay vào phương trình, tính toán và rút gọn ta được:

\[\begin{array}{l}
 1 - \frac{1}{2}t + \frac{{1 - \frac{1}{2}t}}{{\frac{1}{{16}}{t^2}}} + 4 = \frac{{25}}{2} \Leftrightarrow \frac{{ - 15}}{2} - \frac{1}{2}t + \frac{{16 - 8t}}{{{t^2}}} = 0 \\
  \Leftrightarrow  - 15{t^2} - {t^3} + 32 - 16t = 0 \Leftrightarrow {t^3} + 15{t^2} + 16t - 32 = 0 \\
 \left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + 16t + 32} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 t = 1 \\
 {t^2} + 16t + 32 = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}\]

Với t = 1, ta có phương trình:
\[\begin{array}{l}
 {\sin ^2}2x = 1 \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}2x = 0 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \\
  \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2};k \in Z \\
 \end{array}\]

Với điều kiện \[t \ge 0\]

suy ra phương trình \[{t^2} + 16t + 32 = 0\]

vô nghiệm.

Vậy phương trình có một nghiệm:

\[x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2};k \in Z\]